Los polinomios de Hermite aparecen por primera vez, a raíz de la resolución del problema del oscilador armónico unidimensional en Mecánica Cuántica. Están definidos en toda la recta real, es decir, su dominio será: Por lo tanto, la función peso (w(x) recordemos) en el producto interno deberá menguar más rápido que |x|^n, para garantizar que […]
Polinomios de Laguerre
Para estos polinomios se utiliza una fórmula idéntica la usada para los polinomios anteriormente explicados: Considerando el espacio de dos funciones reales de cuadro integrables con respecto al peso w(x)>0, en el intervalo (0,∞): Es decir: Aplicando el producto interno al espacio descrito: Para encontrar nuestro polinomio, necesitamos que sea ortogonal respecto a su producto […]
Polinomios ortogonales
Los polinomios ortogonales son una clase de polinomios que forman una base ortogonal en el espacio de Hilbert (que no es más que una generalización del espacio euclídeo). Aparecen sobretodo en la teoría de ecuaciones diferenciales y en la mecánica cuántica. Veamos la definición exacta de estos polinomios: Un conjunto de polinomios de orden n, […]
Sumatorio
El sumatorio no es más que una operación de suma repetida desde «n» veces (siendo n el número de sumandos) hasta infinito. Tiene muchas aplicaciones, tanto en estadística (para hallar la media, etc.) como en las series de números e incluso en integrales. Se representa con la letra griega Σ, y se puede definir de […]
Arcos compuestos
Volvemos esta vez en la guía matemática con las identidades trigonométricas. Esta vez, daremos los arcos compuestos. Estas identidades, se conocen como auxiliares, pues nos ayudan a resolver problemas trigonométricos, descomponiéndolos en formas trigonométricas más simples, que nos facilitarán la tarea. Vamos a mostrar aquí las principales que se usan: Lo que está en azul […]
Series de Dirichlet
Una serie de Dirichlet es aquella que cumple: donde s y an son números complejos, con n=1,2,3,4… Dicho de una forma más clara, para qué sirve esto de las series de Dirichlet, se usan para intentar demostrar que: Con a y b números primos relativos (no tienen otro divisor común más que 1 y -1, […]
Operaciones combinadas
Llamaremos operaciones combinadas a aquellas en las cuales aparezcan varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener un resultado que sea el correcto es necesario seguir algunas reglas y tener en cuenta la prioridad entre las operaciones. En primer lugar se deberán separar los términos presentes para luego poder resolver cada uno de estos. Luego procederemos […]
Integral de Fresnel
Las integrales de Fresnel, denotadas como S(x) y C(x), son dos funciones trascendentes (no algebraicas), que son empleadas para el cálculo de ondas en física, entre otros campos. Se definen mediante las siguientes expresiones integrales: Estas dos integrales se pueden expresar en forma de potencias, que convergen para todo x: Propiedades: a) C(x) y […]
Teorema fundamental del álgebra
Para empezar, citemos el teorema: Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. ¿Qué cosa tan rara dicen verdad? Suena a chino. Vamos a desgranarlo: Supongo que a estas alturas, seguidores fieles del blog, sabréis lo que es un polinomio. […]
Método de la regla falsa
El método de la regla falsa, o «falsa posición», es otro de los muchos métodos iterativos para la resolución de problemas con ecuaciones no lineales. La peculiaridad de éste, es que combina dos métodos: el método de bisección y el de la secante (ya explicados en otros artículos). A continuación veremos una explicación de en […]