Teoría de Galois

Evariste Galois fue un importante y reconocido matemático francés del siglo XVIII (1811-1832). Uno de sus mas grandes descubrimientos es la llamada Teoría de Galois. Cuenta la historia que la noche antes de morir redactó una carta en la cual desarrolla la famosa teoría, con esta se logran fusionar admirablemente la geometría y el álgebra. Es una teoría que tiene como característica el conjunto de resultados que vinculan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos.

El origen de la teoría de Galois fué ocasionado por el intento de dar respuesta a la ausencia de una fórmula que determinara la resolución de ecuaciones de polinomios de quinto o mayor grado en términos de los coeficientes del polinomio, con la utilización de operaciones algebraicas o la extracción de raíces. Lo dicho anteriormente era posible sólamente para las ecuaciones de segundo grado, tercer grado y cuarto grado.

Galois demostró entonces casi de forma simultanea con otro genio de las ciencias matemáticas, Niels Henryk Abel, que no hay posibilidad de encontrar una respuesta general para las ecuaciones de grado 5 solo con la utilización de la adición, sustracción, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, por medio de radicales). Se llega entonces a la conclusión de que las ecuaciones de grado 5 pueden ser resueltas sólamente con la utilización de técnicas de cálculo numérico. Pero también hay muchas ecuaciones de grado 5 o de grado superior, que pueden llegar a resolverse de forma correcta mediante radicales, estos serían casos particulares. Galois formuló y demostró un teorema, que se llama generalmente teorema de Galois. Dicho teorema permite la identificación de las ecuaciones antes nombradas, afirmando lo siguiente:

«Si en una ecuación de polinomios la potencia mayor es correspondiente a un número primo y si también se tiene el conocimiento de dos valores de la x, los demás pueden ser obtenidos a partir de ellos por medio del uso de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, por lo cual la ecuación puede puede resolverse por medio de radicales.»

Noción de Grupo de Galois

Para una forma no tan compleja como la que nos proporcionó el teorema expresado anteriormente, procederemos identificar las ecuaciones de grado 5 y a ecuaciones superiores a 5, que pueden resolverse por medio de radicales. Es necesario entonces encontrar un nuevo concepto, quer sería el concepto de grupo, el cual es bastante complejo por lo cual vamos a intentar introducirlo de una forma sencilla.

Primeramente es necesario poner atención en la forma de ordenamiento de las letras o números, estos se denominan permutaciones. Los números 1, 2 y 3 se pueden ordenar de las formas siguientes 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Denominamos entonces a la permutación 123 permutación identidad y consideraremos entonces un modo de formular las permutaciones de manera que nos quede un par de líneas con la identidad en la línea de arriba y la permutación correspondiente en la línea inferior. Así tenemos:

Una vez establecido lo anterior, podemos definir una una operación binaria en el conjunto de permutaciones. Tendremos en cuenta dos permutaciones de cualquier tipo:

Si consideramos en primer lugar la segunda permutación y después la primera, podremos notar que lo que se ha hecho es relacionar en forma de secuencia los números que se derivan por la segunda permutación con aquellos que derivan por la primera. Esta operación. o sea este producto es interno, ya que el producto de dos permutaciones resultará en otra permutación. También se pueden verificar otras propiedades que hacen que el conjunto de las permutaciones se conforme con una estructura de Grupo en proporción a esta operación. Las propiedades son :

1. Propiedad asociativa: El ordenamiento cuando se combinan dos permutaciones contiguas no es de gran importantancia. Si denominamos a, b y c a tres permutaciones y * a la operación, la propiedad puede representarse de esta forma, (a*b)*c = a*(b*c).

2. Elemento neutro: Existe una permutación, que puede expresarse como e, de modo que cualquier permutación a, se verificará que a*e = a. En el caso estudiado la permutación neutra es la siguiente,

3. Elemento inverso: Dada cualquier permutación a, habrá otra, que será denotada por,

Por ejemplo, si se considera la permutación

Su inversa es

Ya que

Las investigaciones de Galois han perdurado de forma puntual, llegando a formular una condición para que una ecuación de polinómios de cualquier tipo pueda determinarse mediante radicales.