Teoría de anillos

La Teoría de Anillos es sumamente extensa, ya que constituye una parte muy importante en las matemáticas. Por lo cual en este artículo veremos una introducción y analizaremos tan solo una parte elemental de lo que abarca esta teoría.

Un anillo A es un conjunto dotado de dos operaciones, estas serían el producto y la suma. Se cumple lo siguiente:

• (A,+) es un grupo abeliano ( veremos de que se trata esto mas adelante)

• El producto es asociativo por lo tanto : a.(b.c) y a.(b+c) = a.b+a.c

• El producto es distributivo respecto a la suma.

(a+b).c=a.c+b.c y a.(b+c)=a.b +a.c

Si tomamos como ejemplo un conjunto no vacío K se dice que es un anillo asociativo si en K están definidas dos operaciones, denotadas por “+” y “•” respectivamente tales para cualesquiera a, b, c de K:

• a + b está en K. (Cerradura)

• a + b = b + a. (Conmutatividad)

• (a + b) + c = a + (b + c). (Asociatividad)

• Hay un elemento 0 en K tal que a + 0 = a (para todo a en K). (Elemento Neutro)

• Existe un elemento -a en K tal que a + (-a) = 0. (Elemento Inverso)

• a • b está en K (Cerradura)

• a • (b • c) = (a • b) • c. (Asociatividad)

• a • (b + c) = a • b + a • c y (b + c) • a = b • a + c • a. (Distribución)

Existen anillos no asociativos, pero como todos los anillos considerados en este documento son anillos asociativos, los llamaremos anillos.

Existes muchos tipos de anillos diferentes.

• Un anillo que posee un elemento 1 en K tal que a • 1 = 1 • a = a para todo a en K lo denominamos anillo con elemento unitario.

• Un anillo que cumple en la multiplicación que a • b = b • a para todo a, b en K lo denominamos anillo conmutativo.

• Un anillo con unidad se dice que es un anillo con división si sus elementos distinto de cero forman un grupo bajo la

multiplicación, cumpliendo también con los axiomas de elemento neutro e inverso.

• Un cuerpo hace referencia a un anillo conmutativo con división.

• Si K es un anillo conmutativo y a distinto de 0 en K, decimos que es un divisor de cero si existe un b en K, diferente de 0, tal que ab = 0.

• Un anillo conmutativo es un dominio entero en caso de que no tenga divisores de cero.

Cada anillo puede tener características muy diferentes de otro. Por eso que requerimos dar cierto orden a los anillos para lo cual veremos el siguiente lema.

Un grupo es un conjunto G que posee una operación binaria, es decir que asocia a dos elementos de G dentro de G, y que a la vez cumple con los axiomas de cerradura, asociatividad, elemento neutro e inverso; si también cumple con el axioma de la conmutatividad, se llama grupo abeliano. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos. Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles forman el grupo abeliano bajo la multiplicación. Los anillos no conmutativos se asemejan a los anillos de matrices en muchos aspectos.