Permutaciones ordinarias
La combinatoria es una rama de matemática que trata el estudio de conjuntos finitos de objetos que satisfacen criterios específicos y que se ocupa especialmente del conteo de los objetos de dichos conjuntos. O sea que es una parte del álgebra que se encarga de estudiar los grupos que se forman distinguiéndose entre ellos el número de elementos que conforma cada grupo, el tipo de estos elemento y su orden.
Un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre como deben ser las combinaciones y determinar luego cuantas de estas existen que cumplan la regla. Las agrupaciones pueden ser de tres tipos, variaciones, combinaciones y las permutaciones. Los elementos de las agrupaciones pueden ser distintos, de ser así se llaman ordinarios o bien pueden ser iguales que serían las agrupaciones con repetición.
En este contexto, las permutaciones ordinarias son un concepto fundamental. Se refieren a las distintas formas en que se pueden organizar los elementos de un conjunto, donde cada elemento se usa una sola vez y el orden de los elementos es importante.
Dado un conjunto de m elementos, las permutaciones ordinarias de estos m elementos son las variaciones ordinarias de los mismos tomados m a m, es decir, los diferentes grupos que se pueden formar con ellos, de manera que todos los elementos están en cada grupo, y un grupo se diferencia de otro simplemente en el ordenamiento de los elementos. Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn.
Por tratarse de un caso particular de las variaciones, la fórmula que utilizaremos en los cálculos y que nos dará el número de permutaciones con m elementos Pm será:
Si invertimos el orden de los factores:
Una característica importante de este tipo de agrupación es que se toman todos los elementos del conjunto. También se puede destacar que si importa el orden de los elementos ya que un grupo se diferencia de otro solamente en el orden de colocación de dichos elementos. Podemos observar también que las permutaciones coinciden entonces con las variaciones de n elementos tomados de n en n.
Vn,n = Pn
Veamos algunos ejemplos resueltos de permutaciones ordinarias:
Ocho personas guardan cola en una panadería para comprar pan. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar en la cola?
¿ De cuántas formas distintas se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta?
Para entender mejor las permutaciones ordinarias, podemos considerar otros ejemplos de la vida cotidiana. Por ejemplo, si tenemos un libro con 10 capítulos y queremos saber de cuántas formas diferentes podemos leer los capítulos (asumiendo que podemos leerlos en cualquier orden), estaríamos buscando las permutaciones ordinarias de 10 elementos.
Otro ejemplo podría ser si tenemos 6 libros diferentes y queremos saber de cuántas formas diferentes podemos organizarlos en un estante. Nuevamente, estaríamos buscando las permutaciones ordinarias de 6 elementos.
Las permutaciones ordinarias también son útiles en el campo de la informática. Por ejemplo, si queremos generar todas las posibles contraseñas de 8 caracteres utilizando letras y números, estaríamos buscando las permutaciones ordinarias de 36 elementos (26 letras y 10 números) tomados de 8 en 8.
En resumen, las permutaciones ordinarias son una herramienta matemática muy útil para resolver problemas de conteo en los que el orden de los elementos es importante.