Teoría de grupos

A finales del siglo XIX algunos matemáticos británicos se dedicaron a estudiar las estructuras algebraicas, abandonando el interés de aplicar soluciones de ecuaciones numéricas. Esto da lugar a tres elementales corrientes que son, la teoría de los números, la creación del álgebra lineal, y la teoría de los grupos. La útima, se focalizó en el estudio y análisis de grupos de permutaciones. El matemático francés Camille Jordan se propuso desarrollar el trabajo de Galois, Serret y otros de sus precursores, introduciendo también la concepción de homomorfismo y el estudio de los grupos infinitos.

La idea primordial y esencial de grupo es la ley de composición u operación binaria y no la naturaleza de sus objetos. La finalidad de la teoría de grupos es la clasificación de los grupos así como también sus propiedades y aplicaciones enlas ciencias matemáticas o fuera de esta. Los grupos son de gran utilidad en estructuras algebraicas más complejas como lo son los anillos, espacios vectoriales o cuerpos. Para entender la teoría de grupos correctamente debemos tener en claro el concepto de operación binaria o ley de composición así como el concepto de estructuras algebraicas.

Un grupo (G, o) corresponde a un conjunto G en el cual hay definida una ley de composición interna (aplicación de un operador en los elementos de un conjunto. El operador se encarga de tomar el elemento inicial o los elementos y los relaciona con otros elementos propios de un conjunto final que puede o no ser de igual naturaleza) que obedece a los siguientes axiomas:

• Asociatividad:

• Elemento neutro o elemento de identidad:

• Elemento simétrico:

Un grupo se encuentra conformado por un conjunto de objetos abstractos o símbolos, y también por la ley de composición interna que es la que se encarga de relacionarlos. La ley de composición interna nos aclara cómo debemos manipular los objetos del grupo. Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo si se puede verificar la propiedad conmutativa. Es decir si su operación binaria cumple con esta propiedad:

Cuando el grupo es abeliano es habitual denotar la operación binaria con el signo +.

Se puede ver el concepto de grupo como un caso particular de grupos con

operadores en ∅(con acción, la única posible de ∅ en G).

El elemento e lo denominaremos elemento de identidad izquierdo o simplemente identidad izquierda de x.

Mientras que,

lo llamaremos inverso izquierdo de y.

De manera análoga se tiene el elemento de identidad derecho y el inverso derecho. Cuando es clara la notación de la operación binaria, con frecuencia se excluye y sencillamente se designa un grupo (G, o) con G. Al pedir que se tenga un elemento de identidad por el lado izquierdo e inverso izquierdo, estará implicado que se tengan identidad e inverso derechos. En un grupo (G, o), si un elemento es inverso izquierdo se tendrá inverso derecho. Si e es identidad izquierda, por lo cual tiene identidad derecha.

Consideremos,

para un elemento x ∈ G. y también un elemento inverso izquierdo del elemento,

es decir,

Luego,

Así que,

es inverso derecho de x. Ahora, para cualquier elemento x, considerrmos las siguientes igualdades,

Entonces e es identidad derecha.

Diremos que e corresponde al elemento de identidad de un grupo G si e es entonces elemento de identidad izquierdo o derecho y hablaremos del inverso de un elemento si existe su inverso izquierdo o derecho.

* Se habla de notación aditiva cuando se representa la ley de composición interna como «a + b», y el elemento neutro como » 0 «. La notación multiplicativa es aquella en la cual la ley de composición interna se representa como «»ab», y el elemento neutro como » 1 «.

Ejemplos

El conjunto de números enteros con la suma habitual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.

El conjunto de los números reales (descartando al 0) con la multiplicación, es un grupo abeliano en el cual el elemento neutro es el 1, y el simétrico de x es 1/x. Podemos ver que al no tener el cero elemento simétrico multiplicativo, se lo debe suprimir.

El conjunto de los números reales con adición habitual, es correspondiente a un grupo abeliano, en este caso el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.

El conjunto de matrices rectangulares de dimensiones n x m, con la suma, es un grupo abeliano.

El conjunto de matrices cuadradas con determinante diferente de cero con la multiplicación no es abeliano.

La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, aunque también se puede aplicar en situaciones que se caracterizan por la simetría.