Teorema de Thales

Thales de Mileto (630 a.C. – 545 a.C.) fue uno de los más famosos filósofos griegos, pero no sólo destaca por eso, sino que como todos los sabios de aquella época, también destacó como científico y matemático, donde son muy importantes sus aportaciones en la geometría, y una de estas aportaciones es en la que nos vamos a centrar, el conocidísimo “Teorema de Thales”.

Para poder enunciar este teorema, nos remontamos en la historia a los acontecimientos que precedieron al Teorema:

THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS

Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó… En el instante justo en el que la sombra de su bastón fue igual a la altura del bastón, entonces la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de ésta. Suponemos que para poder llevar a cabo este experimento, recibiría ayuda de alguien.

A partir de este experimento podemos enunciar el siguiente Teorema:

ENUNCIADO DEL TEOREMA

Teorema: Dadas dos rectas cualesquiera: r y r´, cortadas por rectas paralelas entre si: a, b y c; entonces tenemos que los segmentos obtenidos en una de las rectas son proporcionales a los obtenidos en la otra recta, como se puede apreciar en la siguiente imagen:

APLICACIONES

El Teorema de Thales tiene múltiples aplicaciones en geometría:

1. Una de las más importantes es para hallar longitudes de un triángulo o figura geométrica utilizando triángulos semejantes:

2. División de un segmento en partes proporcionales.

3. División de un segmento en partes iguales.

4. Y también se utiliza para realizar algunas demostraciones de geométricas, como por el ejemplo el teorema de la bisectriz.

Algunos de los problemas más típicos que se resuelven utilizando el teorema de Thales son aquellos en los que nos piden la altura de algún objeto (edificio, montaña, etc) conocida la altura y la distancia o la sombra de otro objeto.

Veamos algún ejemplo:

Ejemplo:Para poder llegar a una ventana de un edificio rodeado por una verja, hemos utilizado una escalera. Sabemos que la distancia de la casa a la verja es de 3 metros y que desde la verja al punto de apoyo de la escalara hay 1 metro y medio. Sabiendo que la verja mide 2 metros, ¿a qué altura está la ventana?

1º. En primer lugar tenemos que plantear el dibujo de nuestro problema:

Que si lo vemos en una perspectiva plana tendría el siguiente dibujo:

2º. Buscamos triángulos semejantes para poder aplicar el Teorema de Thales tal y como hemos indicado en la primera aplicación. En este caso sería el triángulo ABC y el triángulo CED

Por tanto tendríamos:

Por tanto la solución de nuestro problema será: La ventana se encuentra a 6 metros del suelo.