Repartos proporcionales

Dentro del tema de proporcionalidad nos encontramos a parte de los problemas de regla de 3 (simple o compuesta) y de los problemas con porcentajes, los problemas relaciones con repartos proporcionales.

En los problemas de repartos también podemos distinguir entre repartos directamente proporcionales y repartos inversamente proporcionales.

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Nos encontramos en un problema de reparto directamente proporcional cuando se quiere repartir una cantidad de una magnitud A en función de la cantidades de tal magnitud x1, x2,….xn; de tal forma que a cada parte le corresponderá una parte de A: A1, A2,…An, teniendo en cuenta que la suma de todas ellas debe dar A: A1+A2+….An = A.

Para hallar la cantidad que le corresponde a cada parte seguiremos los siguientes pasos:

1º. Es necesario hallar la razón de proporcionalidad k, que se obtiene al hacer la división de A entre la suma de x1+x2+….xn: k=A/(x1+x2+..xn)

2º. Por último, para obtener las cantidades que le corresponderían a cada uno, multiplicamos por la razón de proporcionalidad la cantidad inicial: A1= k∙x1,… An = k∙xn.

Ejemplo: Tres amigos compran un décimo de lotería entre los cuatro, uno de ellos pone 3€, el segundo pone 5€ y el tercero y cuarto ponen la misma cantidad 3 € cada uno. El día del sorteo resulta ser premiado con 5000€. ¿Cómo se repartirán el premio?

Evidentemente, se trata de un problema de reparto proporcional, ya que el que más dinero puso para la compra del décimo será el que más dinero se lleve, y viceversa, el que menos puso, será el que menos se lleve.

1º. Calculamos la constante de proporcionalidad:3+5+6+6=20 → k= 5000/20=250

2º. El primer amigo: A1=3∙250= 750 €

El segundo amigo: A2= 5∙250=1250 €

El tercero y cuarto se llevarán la misma cantidad porque pusieron lo mismo: A3=A4=6∙250 = 1500 €

Observación: Podríamos comprobar que efectivamente, la suma de las cantidad tiene que ser igual al total, 5000€.

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Nos encontramos frente a un problema de reparto inversamente proporcional cuando la cantidad total que se quiera repartir sea de forma inversamente proporcional (normalmente, se indicará cuando se trata de un reparto inversamente proporcional en el caso en el que no se pueda dar por supuesto).

En este caso, a pesar de que la idea es la misma, los cálculos se realizan de otra forma:

1º. Para obtener la constante de proporcionalidad k, tenemos que realizar la siguiente suma

1/x1+1/x2+…+1/xn, para la cual será necesario realizar el mínimo común múltiplo:

1/x1+1/x2+…+1/xn=B/mcm(x1,…xn)

Entonces, realizamos el cociente entre la cantidad inicial (A) y el resultado de la suma (el numerador, B) k=A∙mcm(x1,x2,…xn)/B.

2º. Una vez calculada la constante de proporcionalidad, como el reparto es inversamente proporcional, para obtener la cantidad respectiva de cada una procederemos de la siguiente forma:

A1= k/x1, A2=k/x2……An=k/xn.

Ejemplo: Tres hermanos ayudan en la economía familiar familiar entregando anualmente un total entre los tres de 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1º. Tenemos que hacer la suma: 1/20+1/24+1/32=59/480→k=5900∙480/59=48000€

2º. Una vez que tenemos la constante de proporcionalidad calculamos el dinero que le corresponderá a cada uno:

A1= 48000/20= 2400€

A2= 48000/24=2000€

A3=48000/32=1500€