Ecuaciones equivalentes
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son aquellos que tienen las mismas soluciones o raíces, aunque posean distintos números de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuación les sumamos o restamos una misma cantidad (no una incógnita), dará como resultado un sistema equivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o restando lo que se suma). También si procedemos a multiplicar o dividir a los dos miembros pertenecientes a la ecuación de un sistema por un número que sea distinto de cero, el sistema que resultará será equivalente (así lo que se multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro y viceversa).
Estas reglas son fundamentales en el álgebra y son utilizadas en una amplia gama de aplicaciones, desde la resolución de problemas matemáticos hasta la modelización de situaciones en ciencias físicas y sociales. En este sentido, es importante entender que el concepto de equivalencia de ecuaciones no es solo una abstracción matemática, sino una herramienta práctica que nos permite simplificar problemas y encontrar soluciones de manera más eficiente.
A continuación observaremos algunos ejemplos:
Una ecuación es equivalente, si a los dos miembros se les suma o resta un mismo valor:
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
También es equivalente una ecuación si se dividen o multiplican ambos miembros por una misma cantidad:
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Otro criterio a tener en cuenta serían los siguientes, por ejemplo cuando sumamos o restamos una ecuación del mismo, también se dará como resultado un sistema equivalente. Esto sería una fusión de los dos criterios anteriores, veamos un ejemplo de esto, para pasar del sistema 1 al sistema 2 a la segunda ecuación se le ha restado la primera:
Si en un sistema de ecuaciones, una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, es posible eliminarla y el sistema que se obtenga será equivalente al inicial, por esto es ventajoso suprimir las ecuaciones superfluas, la cuales podemos identificar con facilidad, por ejemplo, las que son nulas, proporcionales o las que sean de combinación lineal entre otras:
En este ejemplo veremos que los sistemas son equivalentes ya que se suprimió la tercera ecuación la cual era proporcional a la primera, la tercera ecuación entonces es igual a la primera multiplicada por tres:
En los siguientes sistemas veremos la equivalencia puesto que se ha suprimido la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y también el término independiente son nulos:
Se suprime aquí la cuarta ecuación la cual era la suma de la ecuación primera más la segunda, como resultado tenemos un sistema equivalente:
Como último ejemplo tenemos los siguientes sistemas, los cuales son son equivalentes ya que solo se cambió en todas las ecuaciones el orden de las incógnitas:
Además de estos ejemplos, es importante destacar que el concepto de equivalencia de ecuaciones también se aplica a las ecuaciones de mayor grado. Por ejemplo, en el caso de las ecuaciones cuadráticas, podemos obtener una ecuación equivalente al dividir todos los términos de la ecuación original por el coeficiente del término cuadrado. Este proceso se conoce como normalización de la ecuación y es una técnica comúnmente utilizada para simplificar la resolución de ecuaciones cuadráticas.
En resumen, los sistemas de ecuaciones equivalentes son una herramienta fundamental en el álgebra que nos permite simplificar y resolver problemas de manera más eficiente. Al entender y aplicar correctamente las reglas de equivalencia, podemos transformar un sistema de ecuaciones complejo en uno más sencillo sin alterar las soluciones del sistema.
