Proporcionalidad de segmentos
En el tema de hoy vamos centrarnos en el campo de la geometría, en este caso nos toca estudiar la proporcionalidad de segmentos. Veremos la definición, algunos de las propiedades más características, así como sus aplicaciones más importantes.
DEFINICIÓN
Llamamos proporcionalidad de segmentos a la aplicación existente entre el conjunto de cantidades de longitud en sí mismo, de tal forma que la aplicación sea biyectiva, conserve el orden, la igual y además mantenga la correspondencia con la operación de la suma.
Teorema fundamental de proporcionalidad: Dadas dos rectas r y s que se cortan en el punto O y dadas dos longitudes a y b sobre cada una de las rectas respectivamente de tal forma que determinan los segmentos OA=a y el OB=b, como podemos observar en la imagen. Trazando la recta que une los puntos A y B y rectas una recta paralela a esta que corta a las rectas r y s en el punto X y X» respectivamente, entonces al segmento OX se le hace corresponder el segmento OX».
Por tanto se cumple la siguiente razón de proporcionalidad:
PROPIEDADES
En todas la razones de proporcionalidad entre segmentos se cumplen las siguientes propiedades:
1) El producto de medios es igual al producto de extremos:
2) Si cambiamos el orden de los extremos obtenemos la misma razón de proporcionalidad:
3) Análogamente al apartado anterior, cuando cambiamos los medios también obtenemos la misma razón de proporcionalidad:
4) Si cambiamos el orden de las fracciones no cambia la proporcionalidad:
5) Si invertimos los numeradores y los denominadores en cada fracción la proporcionalidad no es la misma:
6) Si sumamos o restamos a cada antecedente su consecuente obtenemos otra proporción.
PROPORCIONES NOTABLES
Vamos a ver algunos de los ejemplos y las proporciones más notables.
-Cuarto proporcional: Dados tres segmentos a, b y c llamamos cuarto proporcional x, de los segmentos a, b y c, como el único segmento que verifica la siguiente relación: a/b=c/x.
Como podemos ver de forma geométrica, si trazamos la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos el punto de corte con la recta s, de tal forma que el segmento OX es el cuarto proporcional buscado.
Como se ve, trazando la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos un punto
X de corte con la recta s, tal que OX = x es el segmento buscado, el cuarto proporcional.
-Tercero proporcional: Dados dos segmentos a y b cualesquiera, llamamos tercero proporcional de a y b al segmento x tal que: a/b=b/x.
La construcción es similar al cuarto proporcional considerando que c=b.
-Cuaterna armónica: Dados cuatro puntos alineados A, B, X y X», diremos que forman una cuaterna armónica siempre y cuando se cumpla la siguiente razón de proporcionalidad entre los segmentos: XA/XB=X»A/X»B
APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
La proporcionalidad de segmentos tiene una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la física. Por ejemplo, es fundamental en la trigonometría, donde se utiliza para definir las razones trigonométricas de los ángulos. También es esencial en la geometría analítica, donde se utiliza para determinar la posición de un punto en el espacio a partir de sus coordenadas.
Además, la proporcionalidad de segmentos se utiliza en la resolución de problemas de semejanza de triángulos y polígonos, en la determinación de la longitud de un segmento en un plano a partir de sus proyecciones en los ejes coordenados, y en la definición de las funciones de proporcionalidad directa e inversa.
En la física, la proporcionalidad de segmentos se utiliza en la determinación de la distancia entre dos puntos en el espacio a partir de sus coordenadas, en la definición de las leyes de la física que describen fenómenos como la gravedad y la electricidad, y en la resolución de problemas de cinemática y dinámica.
Por último, la proporcionalidad de segmentos también tiene aplicaciones prácticas en la vida cotidiana. Por ejemplo, se utiliza en la construcción y el diseño arquitectónico para determinar las dimensiones de los elementos de un edificio, en la cartografía para determinar las distancias en un mapa, y en la fotografía para determinar la relación entre la distancia focal de una cámara y el tamaño de la imagen producida.