Raíz cuadrada de 5
Las raíces cuadradas (√) se hicieron presentes en la antigüedad como el resultado de plantear problemas en el área de la geometría. Podemos nombrar como referencia el Papiro de Ajmeed escrito en 1650 a. C. Dicho documento copia textos incluso más antiguos y expone cómo los egipcios calculaban las raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento teórico aplicado del cuadrado y la raíz es tan antiguo como los Sulba Sutras. Estos eran textos de geometría que empleaban números irracionales, primos, regla de tres y raíces cúbicas. Datados alrededor del 800-500 a. C.
La raíz cuadrada de 5 es correspondiente a un real positivo que, cuando se multiplica por si mismo, da como resultado 5. Este número es elemental ya que surge en la fórmula para la razón extrema y media o razón áurea, conocida mejor como número áureo.
El número áureo o de oro se simboliza con la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula) en honor al escultor, pintor y arquitecto griego Fidias. El número áureo es un número irracional:
La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico que puede ser denotado de la siguiente forma:
Los sesenta dígitos significativos al comienzo de la extensión decimal de este número son los que vemos a continuación:
2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 21345 6574 88995 90000
Generalmente este número es redondeado a la cifra 2.236 con una exactitud de casi el 100%.
La raíz cuadrada de 5, puede formularse como una fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. La secuencia más en forma racional es la que vemos a continuación:
Las convergentes de la fracción continua son las que se muestran con color; sus respectivos numeradores poseen la secuencia nº A001077 de lo que sería la enciclopedia electrónica de secuencias de enteros . Se le denomina OEIS debido a sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, la cual es una base de datos que tinene registradas las secuencias de enteros. Los denominadores poseen la secuencia nº A001076 del OEIS. Los términos que no se encuentran coloreados son condicionales convergentes o también se los puede llamar semiconvergentes .
Si la raíz de 5 es computada con el método babilónico, empezando con r0=2 y empleando rn+1 = (rn + 5/rn) / 2, el nth aproximado rn es idéntico a la 2 elevado a n restando th, converge de esa forma de la secuencia convergente, como podemos observar.
Para comprender mejor lo anterior es importante tener en claro a que nos referimos si hablamos de una secuencia convergente. Se trata de una serie en la que la diferencia entre el enésimo término y el término que sería (n+1) es disminuída cuando progresivamente aumenta el valor de n.
Por ejemplo,
es una serie convergente. Veamos ahora una serie que no cumple con esto.
Entonces, una serie convergente tiene un determinado límite siempre, puesto que el enésimo término de la serie anterior se va aproximando a cero al tornarse n infinitamente grande, el límite es 0. Una serie semiconvergente no es absolutamente convergente.
En geometría si se habla de la raíz cuadrada de 5, hacemos referencia a la diagonal de un rectángulo en la cual sus lados poseen una longitud de 1 y 2, o también a la hipotenusa de un triángulo con catetos de 1 y 2. Se puede verificar esto con el conocido teorema de Pitágoras. Un rectángulo se puede obtener por ejemplo colocando dos cuadrados iguales uno al lado del otro.Con la relación algebraica entre √5 y φ, se establece un principio para construir el rectángulo áureo de un cuadrado, así como también para construir un pentágono regular.