Interpolación lineal
La interpolación lineal es un procedimiento muy utilizado para estimar los valores que toma una función en un intervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1, f(x1)) y (x2,f(x2)). Para estimar este valor utilizamos la aproximación a la función f(x) por medio de una recta r(x) (de ahí el nombre de interpolación lineal, ya que también existe la interpolación cuadrática).
La expresión de la interpolación lineal se obtiene del polinomio interpolador de Newton de grado uno:
RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL
Veamos los pasos que tenemos que seguir para hallar la recta de regresión:
1º. Dados los puntos de la función (x1, y1) y (x2, y2), queremos estimar el valor de la función en un punto x en el intervalo x1<x<x2.
2º. Para hallar la recta de interpolación nos fijaremos en la siguiente imagen.
Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos ABD y CAE, obteniendo la siguiente proporcionalidad de segmentos: AB/AC=BD/CE.
3º. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos:
BD=(AB/AC)∙CE. Traduciendo al lenguaje algebraico obtenemos que:
Y despejando y, obtenemos:
La misma expresión que se obtiene al utilizar el polinomio interpolador de Newton que ya habíamos comentado. Recordad que y1=f(x1) y análogamente y2=f(x2).
Ejemplo: En una determinada empresa de conservas se hace un estudio de los ingresos que se obtienen a partir de los gastos. Estos datos se recogen en la siguiente tabla (en miles de euros).
A partir de los datos recogidos en la tabla, calcular:
a) Los ingresos que se pueden esperar si hemos realizado un gasto de 4000 euros.
b) Los ingresos obtenidos si en esta ocasión el gasto es de 6000 euros.
En primer lugar podemos comenzar representado los datos facilitados por la tabla en el eje de coordenadas ( no es obligatorio pero nos facilita la visión del ejercicio).
Como no conocemos la función mediante la que se han obtenido los datos, vamos a utilizar la interpolación lineal.
a) Cuando x=4, vamos a utilizar los datos que nos proporciona la tabla x1=3 y x2=5, cuyos valores respectivos son f(x1)=10 y f(x2)=14.
Utilizando la fórmula de interpolación mencionada, sustituimos los valores que mencionados obteniendo:
Sustituyendo el valor de x que nos piden: x=4, (recordar que los datos vienen dados en miles de euros) obtenemos el valor de ingresos esperado:
Por tanto, si hay un gasto de 4000 euros se obtendrán unos ingresos de 12000€.
b) De forma análoga al apartado anterior, en este caso tenemos que repetir la interpolación, ya que ahora el valor que nos piden es x=6 (no os olvidéis que los datos están dados en miles de euros), y esta valor está entre 5<x<7. En este caso sustituiremos en la fórmula x1=5 y y2=7, cuyos valores respectivos son f(x1)=y1=14 y f(x2)=y2=22. Obtenemos por tanto la siguiente fórmula:
Donde al sustituir por 4 obtenemos:
Por tanto, si el gasto es de 6000 euros, los ingresos obtenidos serán de 18000 euros.