Producto escalar

El producto escalar, que también se puede llamar producto interno o punto, se trata de una aplicación externa bilineal, que se define sobre une espacio vectorial o espacio lineal cuyos elementos son los vectores y sobre estos pueden realizarse multiplicaciones por escalares o la suma. El resultado de operar entre si dos vectores, es un escalar en el cual se encuentran los números reales, complejos o racionales. Entonces el espacio de producto escalar se trata de un espacio vectorial V con una operación adjunta de producto escalar, lo cual permite a dos vectores originar un número. En consecuencia se define como un elemento del campo vectorial de V.

Como el producto interno de un vector consigo mismo no debe ser negativo, un espacio de producto escalar solo se puede definir sobre campos que toleran la noción de signo. Lo cuál por ejemplo descarta a los campos finitos. La efectividad del producto escalar hace posible tener visión geométrica en un espacio Euclídeo (esto corresponde al plano euclidiano, al espacio tridimensional de la geometría euclidiana y a la generalización de estos) a más dimensiones por razón de una noción bien especificada del ángulo entre dos vectores, y especialmente una manera de formular cuándo dos vectores son ortogonales. La mayoría de espacios de productos escalares se consideran un espacio vectorial normal de una forma natural.

El producto escalar de dos vectores, expresado metódicamente como r • v, se logra a partir de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. O sea, dados dos vectores r y v, expresados en un igual sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk

v = vxi + vyj + vzk

Teniendo en cuenta que el producto escalar de dichos vectores:

i • i = j • j = k • k = 1

i • j = i • k = j • k = 0

Podemos proceder a multiplicar escalarmente r por v, lo que da como resultado lo siguiente:

r • v = rx• vx + ry • vy+ rz • vz

Esta operación a parte de facilitarnos el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan, o sea sus módulos, también nos permite calcular el ángulo que se encuentra entre ellos. Esto es permisible, ya que el producto escalar se puede hallar también en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la siguiente fórmula:

r • v = |r| • |v| • cos (r, v)

El producto escalar de dos vectores es una función que como condición cumple con determinadas propiedades tales como la propiedad conmutativa, con que sea asociativo u homogéneo respecto al producto de vectores por un numero real, con la propiedad distributiva y con que el producto escalar de un vector no nulo por sí mismo sea siempre positivo. Cumplidas estas condiciones hablamos de espacio euclideo.

Conmutativa : r • v = v • r

Distributiva : r • ( v + u ) = r • v + r • u

Asociativa : ( k • r ) • v = k • ( r • v ) = r • ( k • v ) siendo k escalar.

Podemos decir también que:

r • r = 0 si, y sólo sí r = 0.

Si r y v <> 0 y r • v = 0, esto tiene como implicancia que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).