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Positivo definido

Publicado por Victoria Pérez

Una forma bilineal definida B es una forma bilinearia para la cual,

B(v, v)

tiene un signo fijo (positivo o negativo) cuando el argumento v no es 0.

Veamos ahora la definición formal. Sea K uno de los cuerpos R (Números reales. Estos incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales) o C (los números complejos, los cuales describen la suma de un número real y un número imaginario).

Cuando hablamos de cuerpo nos estamos refiriendo a una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden efectuar y se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva. También poseen un inverso aditivo y un inverso multiplicativo.

Supongamos que V es un espacio vectorial sobre K, y B: V × V → K
Es una función bilineal que es hermitiana en el sentido que B(x, y) es siempre la conjugada compleja de B(y, x).
Entonces B es definida positiva si,

B(x, x) > 0

Para cada x distinto de cero en V, si es mayor o igual a cero, decimos que B es semidefinida positiva. Esto es similar para la definida negativa y semidefinida negativa. Si por el contrario es libre, decimos que B es indefinida.

Un operador lineal auto-adjunto A en un espacio con producto interior es positivo-definido si se cumple,
(x, Ax) > 0 para cada vector distinto de cero x.

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