Espacio de Hilbert
Un espacio de Hilbert, ( se denomina así por su descubridor, el matemático alemán, David Hilbert) se puede definir como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional.
Podemos decir que son una generalización del concepto de espacio euclídeo, por lo cual, dado un espacio euclídeo, se puede establecer un espacio de Hilbert, que es completo con respecto de la topología inducida a partir del producto escalar.
Es importante saber que algunos autores definen un espacio de Hilbert requiriendo la separabilidad del espacio, mientras que otros requieren de una dimensión lineal no finita.
Con la norma derivada del producto escalar según,
Cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo y da lugar a una norma ||.|| . Un espacio de Hilbert es entonces un espacio vectorial normado completo, o sea que es un espacio de Banach, pero no al revés, ya que aunque sea un tipo de espacio de Banach con propiedades especiales, está muy lejos de verificarse en espacios de Banach generales.
Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (como el espacio euclídeo con el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert, lo cual permite que se puedan extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita, un ejemplo sería los espacios de funciones. Pese a esto los ejemplos infinito-dimensionales tienen más usos, de los cuales podemos nombrar las siguientes. La teoría de las representaciones del grupo unitarias, la teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables, la teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, el análisis espectral de funciones, el estudio y generalización de los conceptos de la expansión de Fourier, las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica, etc.
Veamos algunos ejemplos, en los cuales el cuerpo subyacente de escalares corresponderá a C,(aunque las definiciones sean semejantes al caso en el cual el cuerpo subyacente de escalares sea R)
Espacios euclideos
Los espacios euclideos están constituidos por los espacios de dimensión finita con el producto escalar ordinario.
Es decir que sería C al cuadrado, con la definición de producto interior, que sería,
donde la barra sobre un número complejo revela su conjugación compleja.
Los espacios euclídeos y sus propiedades han servido de base para generar un gran número de conceptos matemáticos que se relacionan con la geometría, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido por razones como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. Como podemos ver además de ser un espacio vectorial es un caso de espacio de Hilbert.
Bases ortonormales
Una base ortonormal de un espacio vectorial con producto interno o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo espacio vectorial generado es denso en el espacio, en el cual los elementos son recíprocamente ortogonales y normales, o sea , de magnitud unitaria.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no tiene un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert. Se puede demostrar que cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal. Entonces un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.
Como todos los espacios separables infinito-dimensionales de Hilbert son isomorfos, y puesto que casi todos los espacios de Hilbert usados en la física son separables, cuando los físicos hablan de espacio de Hilbert quieren significar el separable.
Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como:
Aún si B no es numerable, sólo contablemente varios términos en esta suma serán distintos de cero, y la expresión está entonces bien definida. Esta suma también se llama también, expansión de Fourier de x.
Otros ejemplos en los cuales el cuerpo subyacente de escalares corresponderá a C, podría verse en los espacios de sucesiones, espacios de Lebesque o espacios de Sobolev.