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Esperanza matemática

Publicado por Laura

Vamos a estudiar un nuevo concepto estadístico, la esperanza matemática; estudiaremos sus característica y la forma de obtención dependiendo si la variable estudiada es discreta o continua.

Definición:
Llamamos esperanza matemática (también conocida como esperanza, valor esperado, media poblacional o simplemente media) al número que expresa el valor medio de un fenómeno aleatorio. Denotamos la esperanza de una variable aleatoria X como: μ=E[X].

tabla ejemplo1

Propiedades: Podemos decir que la esperanza es lineal, ya que cumple las propiedades lineales.
Dados a, b y c números reales (constantes), y sean X e Y variables aleatorias, se cumple:
1. La esperanza de una constante en la misma constante: E[c]=c.
2. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus esperanzas:
E[ X+Y]=E[X]+E[Y].
3. La esperanza del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por la esperanza de la variable aleatoria: E[aX]=aE[X].
4. De las propiedades anteriores se deduce que:
E[aX+b]=aE[X]+b
E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

ESPERANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=x), la esperanza de X viene dada por: E[X]=∑xi∙P(X=xi)=x1∙P(X=x1)+………+xn∙P(X=xn).

Ejemplo: Vamos a jugar a un juego con nuestros amigos que consiste en lanzar dos monedas. Cuando salen dos caras recibimos 3 euros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5 euros.¿Cuál es la ganancia media del juego?

1º) En primer lugar, tenemos que hallar la función de probabilidad. Para ello estudiamos los valores que toma nuestra variable aleatoria X y la probabilidad con que lo hace:
X={3,1,-5}
P(X=3)=P(salir dos caras)=1/2∙1/2=1/4.
P(X=1)=P(sacar una cara)=P(sacar cara y cruz)+P(sacar cruz y cara)= 1/2∙1/2+ 1/2∙1/2=2/4=1/2
P(X=-5)=P(no sacar ninguna cara o sacar dos cruces)=1/2∙1/2=1/4.
Por tanto la función de distribución queda de la siguiente manera:

Luego la esperanza es:
E[X]=3∙P(X=3)+1∙P(X=1)+(-5)∙P(X=-5)=3∙1/4+1∙1/2+(-5)∙1/4=0.

Observación: Si la media obtenida en un juego, que en este caso corresponde con el dinero que hemos ganado, es 0, entonces se denomina juego justo (ni ganas ni pierdes). Cuando la media es mayor que cero (μ > 0) se dice que es un juego con ventaja; y cuando la media es menor que cero ( μ < 0) es un juego en desventaja.

ESPERANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), la esperanza de X se calcula como:
esperanzacontinuas
Ejemplo: Sabemos que la altura de un cierto árbol sigue una distribución continua con la siguiente función de densidad: f(x)=x/12, cuando 1<x<5. Calcular la E[X].
Para poder calcular la esperanza tenemos que resolver la integral, teniendo en cuenta que el límite inferior es 1 (el valor más pequeño que puede tomar x) y el límite superior es 5. Por tanto:
solución esperanza

ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA
Al igual que podemos calcular la esperanza o valor medio de una variable aleatoria, también podremos calcularla cuando se trate de una función de la variable.
En ese caso también distinguimos entre cuando se trate de una función con variable aleatoria discreta o cuando sea una función con variable aleatoria continua:
esperanza de una función
Ejemplo: La longitud de las extremidades de un cierto mamífero sigue una distribución continua con función de densidad: f(x)=2x si 1<x<2. Hallar la esperanza: raizx
Luego, utilizando al definición para el caso continua, realizamos la integral entre los límites 1 y 2 obteniendo:
ultima

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