Problemas de mezclas

En el artículo de hoy vamos a resolver una serie de problemas que suele causar muchas dificultades en el nivel de Secundaria (entre 14 y 16 años), los problemas de mezclas de sustancias.

Consideramos un problema de mezclas cuando se juntan dos o más sustancias ( por ejemplo, en las recetas de cocinas), ya sean sólidas o líquidas, para dar lugar a una única sustancia. Además, cada una de estas sustancias tiene un precio diferente y a partir del cual se obtiene el precio de la mezcla final.

Este tipo de problemas los resolveremos por medio de sistemas de ecuaciones, donde nuestras incógnitas variarán dependiendo de los datos desconocidos de nuestro problema. Por tanto, dependiendo de los datos que nos aporte el problema procederemos de una u otra forma. Vamos a estudiar los pasos que tenemos que seguir según la situación en la que nos encontremos.

TIPO 1: Hallar el precio al que se debe vender la mezcla obtenida.

En primer lugar, partiendo de una cantidad determinada de cada una de las sustancias y fijado el precio de ellas, vamos a calcular el precio final de la mezcla. Para ello tendremos en cuenta los siguientes aspectos:

1- La cantidad final de la sustancia que se obtiene, es la suma de las cantidades de las sustancias que se mezclan.

2- El precio final, se obtendría sumando el precio total de las dos cantidades iniciales y dividiéndolas entre la cantidad de sustancia final obtenida.

Ejemplo: Juan mezcla 5 kg de chocolate blanco cuyo precio es de 3 euros /kg.  Con 7 kg de chocolate negro, de 4 euros/kg. ¿Cuál es el precio de la mezcla resultante?

En la resolución de este problema no es totalmente necesario el uso de un sistema de ecuaciones. Por tanto, lo resolveremos de forma sencilla prescindiendo de este. Como en todo problema en primer lugar escribiríamos una tabla con los datos:

1-La cantidad final del a sustancia es, como ya hemos comentado es la suma de las dos cantidades iniciales: Cf=5+7=12Kg

2-Para hallar el precio final, sumamos los precios finales de cada sustancia que hemos calculado en la tabla y lo dividimos por la cantidad final que tenemos, de esta manera obtendremos los €/Kg que vale nuestra sustancia final: Pf=(15+35)/12=4,17€/kg.

Solución: El precio de la mezcla resultante es de 4,17 €/kg.

Observación: En un problema de mezclas nunca se gana ni se pierde.

Tipo 2: Hallar las cantidad iniciales.

En este segundo tipo, nos piden calcular la cantidad inicial de cada una de las sustancias que tenemos a partir del precio final de la mezcla, y del precio de cada una de nuestras sustancias iniciales. En este segundo tipo, si que usaremos normalmente un sistema de ecuaciones. Para ello, seguiremos los siguientes pasos:

1- Llamamos x e y a las cantidad iniciales de las sustancias A y B respectivamente, a continuación, expresamos la primera ecuación del sistema: x+y=Cf (la cantidad final es conocida).

2- La segunda ecuación del sistema viene dada por la expresión que nos daría el precio total.

Para plantear este sistema también podemos utilizar una tabla como veremos en el ejemplo:

Ejemplo: Mezclamos azúcar de 0,8 euros/kilogramo, con otro tipo de azúcar con una calidad superior de 1,30 euros /kilogramo, y obtenemos 100 kilogramos de azúcar de 1,1 euros / kilogramo. ¿Qué cantidad de azúcar de cada clase hemos mezclado?

Vamos a escribir los pasos que hemos mencionada anteriormente situándolos en una tabla:

Resolvemos el sistema formado por las dos últimas ecuaciones, por ejemplo utilizando el método de sustitución:

Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: x = 100 – y → 0,8 (100-y)+1,3y=110 →80-0,8y+1,3y=110 →0,5y=30 →y=60.

Sustituyendo: x=100-60=40.

Solución: Hemos mezclado 40 Kg del azúcar de primer tipo y 69 Kg de la segunda.