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Fórmula de De Moivre

Publicado por Victoria Pérez

La fórmula de De Moivre se denomina de esta forma debido al matemático francés Abraham de Moivre, quien afirma que para cualquier número real, para cualquier número complejo y también para cualquier entero n, se verifica lo siguiente:

La expresión «cos x + i sen x» a veces es abreviada como cis x.

Esta fórmula es de suma importancia ya que conecta a los números complejos con la trigonometría. Al expandir la parte izquierda de la igualdad y si comparamos la parte real con la imaginaria, es posible que se procedan expresiones de gran utilidad para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Esta fórmula puede también ser utilizada para hallar expresiones claras y explicitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue gran amigo de Isaac Newton; en 1698 Newton escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Hoy se suele demostrar la fórmula de De Moivre con el uso de la fórmula de Euler, esta última formula se denomina así por el matemático y físico ruso Leonard Euler; sin embargo, cronológicamente no fue de esta forma.

Euler conocía muy bien lo siguiente:

De Moivre la escribió antes de final del XVII. De dicha fórmula fue donde Euler logró obtener una fórmula para el coseno:

y otra para el seno

A continuación tomó θ como infinitesimal y n como infinitamente grande. Concluyó en que las relaciones entre θ y n son tales que su producto es finito, θn→ν, y agregando lo siguiente:

Podemos concluir en que La fórmula de Moivre permite obtener de forma simple, fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple.

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