Discriminantes

En álgebra, podemos decir que el discriminante de un polinomio es una forma de expresar los coeficientes de dicho polinomio lo cual da como resultado una igualdad a cero si y solo si el polinomio posee raíces múltiples en el plano complejo. Si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo (un cuerpo es una estructura algebraica en la cual las sumas y multiplicaciones cumplen con las propiedades, asociativa, conmutativa y distributiva, así como también existe un inverso aditivo y uno multiplicativo) que no está contenido en los números complejos. Siendo así el discriminante se suprime si y solo si el polinomio no posee raíces múltiples en su cuerpo de descomposición. En álgebra abstracta, es posible considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio , o familia de polinomios o de un cuerpo.

El concepto de discriminante se ha generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo también a lo que son las secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos se relacionan y dominan información acerca de las ramificaciones De hecho, los tipos de ramificación se relacionan con tipos más abstractos de discriminantes, lo cual convierte esta idea algebraica en la base de diversas muchas aplicaciones.

Veamos de forma sencilla cómo calcular e interpretar el discriminante en la fórmula cuadrática:

Esta es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ahora veamos:

Lo anterior corresponde al discriminante de la ecuación y permite examinar en cada ecuación el número de soluciones. Es decir, es el valor que se encuentra dentro del radical y de su valor dependen el número de soluciones, ya que si la discriminante es positiva, se suma y se resta el valor que de la raíz del discriminante, lo cual generará dos soluciones, si la discriminante tiene valor cero, solo existe una solución, puesto que no se suma ni resta nada. Si el valor de la discriminante es negativo, no será posible sacar la raíz. Veamos entonces estos casos:

Hay una relación estrecha entre la forma de la factorización de una ecuación cuadrática para su resolución y el valor de la discriminante en la fórmula usada en general para poder solucionar ecuaciones cuadráticas.