Ecuaciones matriciales

Antes de ver como resolver ecuaciones matriciales hagamos un pequeño repaso de lo que es una matriz. Se trata de una tabla rectangular de datos o números, que llamamos elementos o entradas de matriz, los cuales están ordenados en filas y columnas. Las filas representan las líneas horizontales de la matriz mientras que las columnas representan las líneas verticales. Podemos llamar entonces matriz de orden m x n a un conjunto cuadrangular de elementos que se ordenan en m filas y en n columnas. Se llama dimensión o tamaño al orden de una matriz, siendo m y n números naturales.

Las matrices son indicadas con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas o subíndices que demuestran el lugar ocupado.

Veamos ahora un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas y luego la expresión matricial del sistema:

A continuación tenemos la matriz de coeficientes del sistema:

La matriz de incógnitas:

La matriz de términos independientes:

Un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A.X=B, si la matriz de coeficientes es invertible.

Entonces una ecuación matricial es aquella que tiene como incógnita una matriz. Para resolver una ecuación de este tipo lo que debemos hacer es transformar la ecuación inicial en otra ecuación que sea equivalente, empleando las propiedades de las matrices. Es importante que tengamos en cuenta que las matrices no tienen propiedad conmutativa, no es lo mismo multiplicar por la derecha que por la izquierda y lo mismo a la hora de despejar. Hay que mantener el orden en el que están. Por esta razón si lo que queremos es multiplicar una ecuación por una matriz determinada debemos de hacerlo en ambos términos de la igualdad por el mismo lugar.

Vamos a suponer entonces que tenemos la siguiente ecuación matricial. A x B = B-C

Esta ecuación tendrá una solución solo si A es invertible. Entonces multiplicamos al lado izquierdo por A elevado a la potencia de -1 quedando entonces de esta forma:

De esto podemos deducir lo siguiente:

Ahora Veámoslo con matrices:

Resolvemos la ecuación A.X=B-C utilizando el razonamiento anterior:

Calculamos así la inversa de A, como se muestra a continuación:

Ahora ya podemos animarnos a resolver una ecuación matricial. Por ejemplo:

Solucionemos esta ecuación matricial XA-B=XC, la cual dará como resultado lo siguiente: