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Ecuaciones de la recta en el espacio

Publicado por Laura

Ya se habló en un post anterior de la ecuación de una recta en el plano. Ahora bien, vamos a indagar un poco más y vamos a extender este concepto al espacio tridimensional. (Hablaremos en nuestro próximo artículo de la ecuación de un plano en el espacio)
La ecuación de la recta, al igual que en el plano, viene determinada por:
– un punto (P) y un vector (v) : P (a, b, c) , v = (v1,v2,v3)
– o dos puntos: P (a1,b1,c1) y Q (a2,b2,c2), de los cuales para escribir la ecuación de la recta elegiríamos uno de ellos y el vector que determinan:

A partir de este momento, ya estamos en condiciones de dar a conocer las distintas formas en que nos podemos encontrar las ecuaciones de una recta:
Ecuación vectorial de la recta:

Si escribimos por separado cada una de las componentes obtenemos las ecuaciones paramétricas:

Despejando t de cada uno de las ecuaciones anteriores e igualando obtenemos la ecuación en forma continua de la recta:

Si igualamos dos a dos las expresiones anteriores (por ejemplo la primera con la segunda, y la primera con la última) obtenemos dos ecuaciones que llamamos ecuaciones cartesianas o implícitas de la recta:

A partir de estas dos ecuaciones podemos obtener el vector director (v) de la recta mediante el producto vectorial de (A,B,C) x (A´, B´,C´), por ejemplo:
Ejemplo 1: Sea la siguiente recta r dada en forma implícita:

De tal forma que (A, B, C) = (3, -1, 3) y (A´, B´,C´) = (1, 0, 5), entonces el vector director de la recta será:

Por tanto el vector director de nuestra recta es v = (-5, -12, 1). Para obtener un punto de la recta, podemos elegir cualquier valor para x, y y z que cumpla las ecuaciones anteriores. Otra forma para obtener un punto (que no sea probando….) es resolver el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores; este sistema es un sistema compatible indeterminado, por tanto se resolverá en función de una de ellas. Sea z = t, entonces las soluciones vendrían dadas en función de t:
x = -8 -5t, y = -27 -12t, z = t
Si t = 0, obtenemos el siguiente punto de la recta P (-8,-27,0).
Una vez que ya hemos calculado un punto y un vector de nuestra recta podemos escribir la ecuación de la recta de cualquiera de las formas que hemos visto anteriormente.

Para finalizar, vamos a realizar un ejemplo de todo lo que hemos visto:
Ejemplo 2: Sean P (1,0,-1) y Q ( 3,1, -2 ) dos puntos del plano, escribe las ecuaciones de la rectas de todas la formas posibles.
En primer lugar, tenemos que calcular el vector director de la recta:
v = ( 3-1, 1-0, -2-(-1) )= (2,1,-1)

Una vez que hemos obtenido el vector, elegimos uno de los puntos y podemos escribir la primera ecuación.
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + t (2,1,-1)

Separando cada una de las coordenadas:
Ecuaciones paramétricas:

Despejando la t en cada una de las ecuaciones.
Ecuación continua:

Por último, igualando las ecuaciones:

Ecuaciones implícitas:

Una vez que ya sabemos escribir la ecuación de la recta en cualquiera de sus formas, podemos estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio, siendo la forma más fácil para realizar esta tarea escribiendo las ecuaciones cartesianas de cada una de lasa rectas.

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