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Ecuación de una recta

Publicado por Eduardo

Una recta no es más que un conjunto de puntos situados gráficamente en un plano, uno detrás de otro, guiados por un vector dirección y un vector posición.

Si representásemos una recta en el plano cartesiano, tendríamos algo así:

Siendo P, Q y R los puntos que conforman la recta L.

Hasta aquí todo muy fácil, pero antes hablábamos de unos vectores de dirección y posición ¿Qué serán esas cosas? Pues son unos elementos dentro de un espacio (en nuestro caso el plano cartesiano, el eje XY) que nos indican cómo se alinea nuestra recta y en qué dirección está dirigida, igual que cuando vamos en coche y vemos señales que nos indican que dirección seguir, pues es más o menos lo mismo.

Entonces, todas las rectas representadas en este plano se pueden incluir en la siguiente fórmula:

Siendo A y B distintos de cero, y conociéndose ésta ecuación como la ecuación general o implícita de la recta.

Esta ecuación parte de un desarrollo posterior, que os detallo a continuación:

Esta es la ecuación continua de una recta, que ha de pasar obligatoriamente por el punto x1 e y1 y que tiene como vector director v=(v1, v2)

Desarrollando la ecuación de arriba nos queda(multiplicando en cruz):

Sustituimos de la siguiente manera: A=v2, B=-v1 y C= y1v1- x1v2

Quedándonos:

Por tanto, los componentes del vector director serán:

v= (-B,A)

Y la pendiente de la recta será:

Con todo esto ya podremos hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto. Hagamos un ejemplo:

>> Expresa las ecuaciones de esta recta de todas las maneras posibles, sabiendo que pasa por los puntos A(2, 3) y B( -1, 4):

a)Ecuación continua:

Primero necesitamos hallar el vector v, que como recordáis es v=(-B,A), por tanto, debemos cambiar de signo los componentes de B y sumarlos con los de A:

v= (-B,A)= (1,4)+(2,3)=(3,7)

Ahora con esas coordenadas, construimos la ecuación:

Y dejamos así.

b) Ecuación general:

Se trata de resolver la ecuación anterior, intentando poner x e ies del lado izquierdo:

c) Ecuación explícita:

Simplemente dejamos la y del lado izquierdo sola:

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