Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son aquellas cuyo mayor exponente está elevado a la cuarta. En ellas no encontramos ningún término de grado impar, es decir, todos los exponentes serán múltiplos de dos. Se pueden expresar de forma general de la siguiente manera:

Según observamos, estas ecuaciones no son tan directas de resolver como las de segundo grado, en donde aplicábamos la fórmula e inmediatamente obteníamos la solución. En este caso, debemos hacer un par de cambios en la ecuación para poder resolverlas, es decir, sustituiremos t = x^2 y por tanto x^4 = t^2, quedándonos así:

Gracias a esta transformación, hemos conseguido convertir la ecuación a una de segundo grado, mucho más sencilla de resolver.

Hagamos un ejemplo:

 

Sustituimos como mencionamos antes, t por x^2 :

Ahora resolvemos como si de una ecuación de segundo grado se tratase:

Recordemos:

**Pista**: Recordad que (–b) tiene signo negativo, así que, en este caso nos quedaría –(-10)= +10 positivo, por la regla de los signos (si ponemos delante de un paréntesis un menos, el número de dentro cambia de signo).

Tenemos los valores de «t», pero el problema no se termina aquí, ya que lo que necesitamos son los de equis, así que lo que haremos será sustituir ese valor en t=x^2:

 

En el segundo caso, obtenemos una doble solución, ya que la raíz cuadrada de uno tanto vale para uno como para menos uno.

Una última cosa me queda por decir, y es que este método para resolver ecuaciones bicuadradas bien puede servir para hallar soluciones de ecuaciones de grado n, veamos la siguiente ecuación a modo de muestra:

Cogeremos siempre el exponente menor, en este caso 5, y lo sustituiremos por t, es decir, t=x^5, quedando:

Generalizando:

Es decir, para poder hacer esto tienen que ser múltiplos de dos los exponentes, ya que por ejemplo:

No se podría resolver, ya que nos quedaría, sustituyendo x^4 por t:

Con lo que tendríamos una ecuación lineal de dos incógnitas, imposible de solucionar.

Tampoco nos valdría que fuesen múltiplos distintos de dos, por ejemplo de 3, ya que no nos quedaría una ecuación de segundo grado y no podríamos aplicar la fórmula para resolver.

 

**Pista**: El mayor y el menor exponente son siempre la mitad, acordaros de eso e identificareis estas ecuaciones al instante.

 

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