Ecuaciones trigonométricas

En el post de hoy vamos a aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, que como su nombre indica son ecuaciones que tienen en su expresión contienen razones trigonométricas.

Para la resolución de todas las ecuaciones trigonométricas tendremos en cuenta la circunferencia goniométrica, por tanto, para cada razón trigonométrica habrá dos soluciones entre 0° y 360°. Ademas todas las soluciones se repiten en cada vuelta. Por tanto a la solución particular que busquemos, podemos añadir también la suma o resta de 360°.

CASO 1:

En primer lugar, comenzaremos por los casos más simples, es decir, ecuaciones de primer grado y donde solo intervenga una razón trigonométrica.

Ejemplo 1. Pasos para resolver la ecuación cos x= 1.

1º. En primer lugar, siempre tenemos que despejar la razón trigonométrica. Como en este caso ya esta despejada, vamos al siguiente paso.

2º. Una vez que ya tenemos nuestra razón trigonométrica, aplicaremos la función inversa. Como en este caso se trata del coseno, tendremos que hacer el arcocoseno de 1:

cos x = 1~ x =arccos(1)~ x = 0±360°

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación 2senx-2=-1.

1º. Comenzamos despejando nuestra incógnita como si se tratara de una ecuación normal; en este caso la incógnita es senx: senx=1/2.

2º. Realizamos la función inversa, el arcoseno de 1/2, y recordamos que según la ecuación goniométrica habrá dos ángulos donde el sen valga 1/2, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo, luego obtendremos dos soluciones:

x1=30°±360° y x2=150°±360°.

Ejemplo 3: Puede ser que a la hora de hacer la función inversa no tengamos despejada por completo la x, por tanto recordad que la solución habrá que multiplicarla. Halla todas las soluciones posibles de la siguiente ecuación: sen 2x=1/2.

1º. El primer paso ya está realizado, por tanto pasamos al segundo.

2º. Observamos que en este caso no despejamos x, sino 2x:

2×1=30°±360° y 2×2=150°±360°, por tanto: x1=2x( 30°±360°)=60°±720° , x2=2x(150°±360°)=300°±720°

CASO 2:

Vamos a continuar por las ecuaciones de segundo grado en las que también hay únicamente una razón trigonométrica. Este tipo de ecuaciones las resolveremos mediante un cambio de variable, donde a la razón trigonométrica con la que estemos trabajando la llamaremos t.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

1º. En primer lugar realizamos el cambio cos x = t, y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

2º. Una vez que tenemos los valores de t, tenemos que deshacer el cambio, y obtenemos una ecuación del primer tipo, por tanto puede llegar a haber hasta cuatro soluciones :

– Si t=senx=3, no hay solución, ya que tanto el seno como el coseno son funciones cuyo recorrido va entre -1 y 1.

– Si t= senx=1/2, x1=30°±360° y x2=150°±360°

CASO 3:

Por último vamos a estudiar las ecuaciones donde intervengan más de una razón trigonométrica. Para poder resolverlas, las tendremos que convertir en una de los casos anteriores y para ello tendremos que aplicar las identidades trigonométricas conocidas que nos relacionan el seno con el coseno, coseno con tangente, seno con tangente… Recuerda que la cosecante es la inversa del seno y la secante la del coseno. Para poder recordar todas las que tenemos que utilizar aquí dejamos una tabla:

Ejemplo: Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica:

1º. En primer lugar, tenemos que poner esta ecuación en función de una única razón trigonométrica, utilizando la 6ª identidad para poner el coseno en función del seno (o viceversa), obtenemos la siguiente ecuación:

2º. Obtenemos una ecuación del segundo grado, luego estamos en el CASO 2, por tanto realizamos el cambio de variable sen x=t y resolvemos la ecuación obtenida:

3º. Por último, deshacemos el cambio y resolvemos:

– Si t=senx=1/2: x1=30°±360° y x2=150°±360°

– Si t =senx=-1/2: x1=210°±360° y x2=330°±360°