Estructuras algebraicas

Después de un merecido descanso durante la Navidad, retomamos las cosas por donde las dejamos.

Una vez que definido el concepto de conjunto y las operaciones que se pueden realizar entre conjuntos, pasamos a estudiar las estructuras algebraicas que nos podemos encontrar.

Para poder comenzar a enumerar las diferentes estructuras, en primer lugar vamos a distinguir entre dos tipos de operaciones:

a) Operación interna: llamamos operación interna en un conjunto A, a la operación que hace corresponder a cada par de elementos de AxA con un único elemento de A.

b) Operación externa: llamamos operación externa en un conjunto A sobre otro conjunto K, a la operación que hace corresponder a todo par de elementos (a,k) de AxK un único elemento de A.

Dentro de las estructuras algebraicas más importantes que estudiaremos en este artículo, las clasificaremos en tres grupos: con una operación interna, con dos operaciones internas y con una operación interna y otra externa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA

Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la más grande e importante, ya que cumple mayor número de propiedades. A partir de este momento, utilizaremos * como notación para la operación interna.

-Semigrupo: Diremos que A es un semigrupo, si (A,*) cumple la propiedad asociativa: si para todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c=a*(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a, entonces diremos que (A,*) es un semigrupo conmutativo.

-Monoide: Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e:

a*e=e*a=a.

Por ejemplo el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.

-Grupo: Diremos que G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.

-Grupo conmutativo o abeliano: Si (G,*) es un grupo que cumple además la propiedad conmutativa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS

Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.

-Semianillo: Diremos que (A,*,°) es un semianillo si se cumple que:

1) (A,*) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de * : a°(b*c)=(a°b)*(a°c).

-Semianillo conmutativo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo.

Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, con las operaciones suma y producto es un semianillo conmutativo con elemento unidad: el cero, 0.

-Anillo: Diremos que (A,*, °) es un anillo, si se cumple que:

1) (A,*) es un grupo conmutativo.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *.

Al igual que en el caso de semianillo, si (A, °) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *, °) es un anillo conmutativo, y si además tiene elemento neutro, entonces es un anillo conmutativo con elemento neutro.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad.

-Cuerpo: Llamamos cuerpo a la terna (K,*, °) que cumple:

1) (K,*, °) es un anillo

2)(K-{0},°) es un grupo.

Si además (K-{0},°) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (K, *, °) es un cuerpo conmutativo.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Y OTRA EXTERNA

Por último, vamos a ver la estructura algebraica más importante que tiene una operación interna * y otra externa, que denotamos por ●, y utilizaremos como subíndice el conjunto al que hace referencia.

-Espacio vectorial: Diremos que (V,*v,●k) es un espacio vectorial si cumple

1) Si (K, *, ●) es un cuerpo.

2) (V, *) es un grupo conmutativo.

3) Se cumple la propiedad distributiva de ● sobre * por ambos lados.

4) Se cumple la propiedad pseudoasociativa: a●(b*c)=(a●b)●c

5) Existe elemento unidad.

Ahora, para profundizar un poco más, vamos a explorar algunas propiedades y características adicionales de estas estructuras algebraicas.

Propiedades adicionales de las estructuras algebraicas

En el caso de los semigrupos, monoides y grupos, es importante destacar que la operación interna no solo debe ser asociativa, sino también cerrada. Esto significa que la operación entre cualquier par de elementos del conjunto siempre dará como resultado otro elemento del mismo conjunto. Esta es una propiedad fundamental que garantiza la consistencia de la estructura.

En cuanto a los anillos y cuerpos, una propiedad interesante es que la operación de suma siempre es conmutativa, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado. Esta propiedad, junto con la existencia de un elemento neutro para la suma (el cero) y un elemento inverso para cada elemento (su negativo), hace que los anillos y cuerpos sean estructuras muy flexibles y potentes desde el punto de vista algebraico.

Por último, en el caso de los espacios vectoriales, es importante mencionar que la operación externa (la multiplicación por escalares) también debe ser cerrada. Además, esta operación debe ser compatible con la operación interna (la suma de vectores) de acuerdo a las propiedades de distributividad y pseudoasociatividad mencionadas anteriormente. Esta interacción entre las dos operaciones es lo que permite realizar operaciones de suma y multiplicación por escalares de manera consistente en el espacio vectorial.

Esperamos que esta exploración adicional de las propiedades y características de las estructuras algebraicas te haya ayudado a comprender mejor su naturaleza y su importancia en el estudio del álgebra.