Grupo de Lie

Los grupos de Lie fueron estudiados por primera vez por el matemático noruego Sophus Lie (1842 – 1899) con esto intentaba definir un equivalente en las ecuaciones diferenciales a la teoría de Galois que fuera útil para las ecuaciones algebraicas. Los grupos de Lie son elementales en física, análisis matemático y geometría ya que sirven para realizar la forma simétrica de las estructuras analíticas. Pueden ser clasificados en base a sus propiedades algebraicas, pueden ser simples, semisimples, resolubles, nilpotentes, abelianos) También pueden clasificarse con respecto a su conexidad (conexo o no conexo) o su compacidad. Este es un tema de gran extensión y complejidad por lo cual veremos unicamente elementos significativos dentro de esta materia.

Se puede decir que un grupo de Lie corresponde a una variedad diferenciable G contituída por una estructura de grupo que es concurrente, esto quiere decir que el cálculo del siguiente grupo es diferenciable,

Cuando hablamos de variedad diferenciable hacemos referencia a una variedad topológica, que está constituída por una estructura diferenciable del siguiente tipo,

Veamos algunos ejemplos

1)

• La recta real con la suma, corresponde a un grupo de Lie, (R +) de dimensión 1, abeliano y que tiene conexidad. Un conjunto que cumple con esto es un subconjunto C ⊆ x correspondiente a una espacio topológico (x, t) (t es la colección de conjuntos abiertos del espacio) el cual no se puede describirse como unión disjunta, en este caso, un par de conjuntos abiertos de la topología.

• R× = R− {0 } con el producto es un grupo de Lie, abeliano, que no posee conexidad.

• Sea C, el cuerpo de los números complejos. Entonces,

Con el producto de números complejos corresponde un grupo de Lie ( abeliano) de dimensión n.

• Frecuentemente un espacio vectorial real V de dimensión finita con la adición es un grupo de Lie.

2) El grupo lineal general.

Siendo GL (n, R) un grupo de matrices reales cuadradas n.n inversibles, se tienen un grupo de Lie que no cumple con la conmutatividad y que como dimensión tiene al cuadrado de n. Posee así mismmo dos elementos conexos, que pertenecen al signo positivo o negativo del determinante.

Si se procede a identificar un espacio vectorial R(n) de las matrices cuadradas de orden conforme a lo siguiente:

Entonces , GL(n,R) es una imagen recíproca de R-{0} por la aplicación que determina. Lo anterior demuestra que GL(n,R) es una variedad y que el resultado de la multiplicación es una aplicación diferenciable, ya que en R(n) el producto de matrices es reducido a cálculos elementales.

3) De forma análoga, podemos decir que el grupo GL(n,C) de las matrices nxn complejas inversibles existe como grupo de Lie que posee como dimensión,

Homomorfismos e isomorfismos

Si tenemos que G y H son grupos de Lie (reales o complejos ambos), entonces un homomorfismo de grupo-de-Lie- f: G → H existe como homomorfismo de grupo (Un homomorfismo de grupos corresponde a una función entre grupos que mantiene la organización de los dos grupos) es decir que también es una función analítica. La composición de dos homomorfismos es nuevamente un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie siendo del plano reale o complejo, junto con estos morfismos, constituyen una categoría.

Dos grupos cumplen con el isomorfismo cuando existe un homomorfismo biyectivo entre ellos, que tiene como inverso a otro homomorfismo. Los grupos de Lie isomorfos son diferenciables únicamente por la forma de escritura de sus elementos.