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Progresiones geométricas

Publicado por Eduardo

Se tratan de sucesiones de números, en las que cada término se puede obtener multiplicando el anterior por una cantidad fija, llamada razón de la progresión, r.

Se diferencian de las aritméticas en que, la razón de su progresión es una multiplicación, mientras que en las aritméticas era una suma.

Dicha razón, r se puede formular como:

Ejemplo:

En esta progresión, es evidente que cada número es el doble del siguiente. Vamos a comprobarlo hallando la razón en el término 3:

Por tanto, podemos saber que los sucesivos números serán multiplicados por 2.

Este tipo de sucesiones también tienen una expresión general, en donde siempre se cumple una razón determinada:

Dicho esto, podemos deducir la suma de n términos:

Ejemplo:

El 1er término de una progresión geométrica es 2, y el 8º es 13,122. Hallar la razón, y la suma de los 8 primeros términos.

**Nota: La coma simboliza los miles.

Procedemos entonces a resolverlo, para ello primero hallamos la expresión general de la progresión geométrica, para poder obtener r:

Ahora queremos hallar la suma, como tenemos ya r, no es más que sustituir en la expresión mencionada anteriormente:

Es decir, si sumamos los 8 términos de esa progresión nos dará esa cantidad.

 

En este tipo de progresiones observamos también una situación llamada interpolación, que no es más que la obtención de nuevos puntos conociendo un conjunto determinado(discreto) de puntos, para así poder conocer la ecuación completa.

En el caso de la progresión geométrica, es decir, si los términos que queremos interpolar, están en progresión geométrica, aplicaremos ésta fórmula:

Hagamos un ejemplo para ilustrar lo anterior:

Ejemplo:

Interpolar 4 medios geométricos entre 729 y 3.

Primero identificamos la progresión, que será:

729, a1, a2, a3, a4, 3.

Ahora aplicaremos la fórmula de arriba, siendo a=243 y b=3 para hallar r:

**Pista: El índice de la raíz sería el número de términos desconocidos que queremos obtener.

Ahora con esto podemos calcular cuánto vale cada término por separado:

Hemos podido obtener toda la progresión tan solo conociendo dos términos de ésta.

Por último me gustaría comentaros acerca del producto de términos sucesivos de una progresión geométrica:

Esta expresión nos permitirá obtener el producto de los n términos de una sucesión, muy útil para no perder el tiempo multiplicando sucesivas veces.

 

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