Combinaciones con repetición
En combinatoria se entiende que las combinaciones con repetición pueden ser combinaciones de m elementos tomados de n en n que son los diferentes grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden formar con los m elementos que tenemos, de modo que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de su colocación. Se representa por CRm,n.
Para construir este tipo de combinaciones podemos partir por ejemplo de un conjunto A={1,2,3,4} y podemos formar todas las combinaciones con repetición posibles. Si se tratara de un elemento. Tendríamos un conjunto de cuatro elementos y podríamos hacer grupos de uno, por lo cual nos quedarían cuatro grupos de un elemento: 1 , 2 , 3 , 4.
En caso de tener grupos de dos elementos, la forma de construirlos será parecida a la de las combinaciones ordinarias a excepción de que al permitirse repetir los elementos debemos agregar a cada una de las de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. El resultado sería el siguiente 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44.
Cuando hablamos de orden de agrupación, hacemos referencia al número de elementos que intervienen en cada agrupación. Una agrupación de orden uno se denomina monaria, una de orden dos binaria, etc.
Sea A un conjunto con n elementos y m un natural menor o igual que n. Llamaremos combinación con repetición de m elementos de A a todo subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede presentarse hasta m veces. De esta forma no influye el orden de colocación de los elementos. En este tipo de combinaciones si se repiten los elementos.
El número de combinaciones con repetición se puede calcular de la siguiente forma:
Veamos algunos ejemplos:
En una pastelería hay 6 clases diferentes de pastelillos. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 4 pastelillos?
Si nos gusta un pastelillo lo podemos pedir hasta cuatro veces.
No nos importa el orden en que elijamos los pasteles y los podemos repetir. Esto hace del problema una combinación con repetición. Veamos como resolverlo:
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo se seleccionan 4. No importa su orden y se puede elegir más de una botella del mismo tipo. Podemos resolver este problema de esta forma:
