Variaciones con repetición
La combinatoria estudia las distintas formas en que se pueden realizar el ordenamiento o agrupamiento de algunos objetos siguiendo determinadas reglas. El grupo del cual se dispone para formar las agrupaciones se llama base, mientras que el número de elementos que intervienen en cada formación se denomina orden.
Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o también puede haber algunos que sean iguales. En el primer caso cuando son iguales las agrupaciones reciben el nombre de ordinarias. En el segundo caso nombrado donde hay igualdades, se denomina agrupaciones con repetición. Hay tres formas de agrupaciones que pueden ser variaciones, permutaciones o combinaciones. Nos centraremos ahora en ver detalladamente las variaciones con repetición.
Sea A un grupo con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos formar con m elementos de A independientemente de que se pueda repetir alguno. El número de variaciones con repetición de orden, que puede formarse con m elementos se indica con los siguientes símbolos:
El número de variaciones con repetición de m elementos que se toma de n en n, es igual a una potencia de base m y de exponente n, lo cual sería:
Es importante tener en cuenta que cualquier elemento puede posiblemente repetirse una o varias veces. Se pueden considerar dos grupos distintos, si se diferencian en algún elemento o en el orden en el cual fueron calculados. También se pueden tomar conjuntos con más elementos ya que en este caso a diferencia de las variaciones ordinarias, podemos repetir.
Veamos algunos ejemplos:
¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 es posible que se formen?
Si los números comienzan por 6 sólo queda comprobar qué sucede con las siete últimas cifras.
Se Podrán formar entonces 10.000.000 números.
Veamos otro ejemplo:
¿Cuántos números diferentes de 3 cifras podrían formarse con los dígitos 3 y 5?
En este caso el número es:
Los números son: 333, 335, 353, 355, 533, 553, 555, 535.