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Periodicidad de una función

Publicado por Laura

Vamos a estudiar hoy otro aspecto de las funciones que nos facilitan tanto su estudio como su representación: la periodicidad. Estudiaremos como reconocer una función periódica (que siempre será más fácil de forma gráfica) y estudiaremos sus características más importantes. Esta nueva característica permite una nueva clasificación de las funciones en funciones periódicas y no periódicas.

Este tipo de funciones que vamos a conocer hoy no nos son tan ajenas como nos puede parecer. Un ejemplo presente en nuestro día a día lo encontramos en las manecillas del reloj, o incluso las fases de la luna.

DEFINICIÓN

Definición formal: Diremos que una función f(x) es periódica cuando exista un número real T, tal que el valor de la función en el punto x coincida con el valor de la función en el punto x+T: f(x)=f(x+T). Llamamos periodo al número real T que nos indica cada cuanto se repite la función.

O dicho de otro modo, una función es periódica cuando el trazo de la función se repite cada cierto intervalo de la x siguiendo el mismo patrón.

1 Como podemos ver en la siguiente imagen, esta función es periódica porque su trazo se repite cada cuatro valores. Por tanto su periodo es 4: T=4. Si analizamos la función, podemos comprobar que f(1)=f(1+4)=f(5).

PERIODO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

1. La función seno y la función coseno, f(x)=sen x y g(x)=cos x, son periódicas de periodo π.

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2. La función tangente f(x)=tg x es también periódica de periodo π.

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Conocidos los casos principales en las funciones trigonométricas, podemos hallar el periodo de cualquier función teniendo en cuenta una serie de propiedades:

1- Dada una función periódica f(x) con periodo T, entonces la función que se obtiene al multiplicar la x por un número cualquiera (cambio de escala): g(x)= f(k∙x) también es periódica y el nuevo periodo se obtiene dividiendo el anterior por un número cualquiera: T»=T/k.

2- Dada una función periódica f(x) con periodo T, entonces la función que se obtiene multiplicando y sumando al término independiente por números reales g(x)=f( m∙x+n) también es periódica, y el nuevo periodo es el mismo que en el caso anterior: T»=T/m (no le afectan los cambios de origen).

Ejemplo: Hallar el periodo de la función f(x)=sen 2x.

Como ya hemos mencionado a principio, conocido el valor del periodo de la función f(x)=sen x, T= π. Entonces, aplicando la primera propiedad mencionada, el nuevo periodo es:

T»= π/2.

Como podemos apreciar en la siguiente imagen, se mantiene la misma forma, pero se reduce el periodo como podemos ver en el trazo en verde.

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Si nos fijamos, no es lo mismo multiplicar por 2 el término independiente que la función, como podemos apreciar en el trazo azul.