Números combinatorios
Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran como esencia la condición de los grupos formados y no su orden se denominan combinaciones y constituyen una rama determinada dentro de la especialidad del análisis combinatorio. La expresión numérica de tales combinaciones se denomina número combinatorio o también puede ser coeficiente binómico.
Los números combinatorios pueden ser representados por ( n m ) y se utilizan para expresar las combinaciones. Las combinaciones de n elementos tomados de m en m, cuentan el número de agrupaciones diferentes que es posible que se formen con m elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos.
Recordemos la factorial de un número natural n, que expresaremos como n!, el cual es el producto de todos los números naturales menores o iguales a n:
n!= 1.2.3 ,,,,, (n-1)n
Es importante tener en cuenta que 0! = 1
Dados dos números naturales m y n, tales que m ≤ n, se definirá el número combinatorio «n sobre m», y se escribirá (n m)
de la siguiente forma:
Este número es siempre entero.
Existen dos propiedades importantes en los números combinatorios:
La primera propiedad hace referencia a los números combinatorios en los cuales tal como ocurre en
la suma de los números inferiores, 2 + 3, es igual al número superior, 5.
Cuando sucede esto, los dos números combinatorios son iguales, o sea que:
En la segunda propiedad la suma de dos números combinatorios, que tienen los números superiores iguales y los inferiores son consecutivos. Se verifica de la siguiente forma:
El matemático italiano. Niccolò Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557) mejor conocido como Tartaglia, ideó un triángulo con números combinatorios, donde quedaban expresadas claramente las propiedades de los números combinatorios. Podemos observar en ese triángulo que en cada fila, los términos que son equidistantes de los extremos son iguales, lo cual representa la primera propiedad. La segunda propiedad se ve reflejada en este triángulo ya que cada término (con excepción de los dos extremos) es igual a la suma de los dos números que se encuentran en la fila superior.
