Número algebraico
Un número algebraico es cualquier número real o complejo que sea solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales. En una ecuación polinómica de la forma siguiente.
Es el grado del polinomio
Los coeficientes del polinomio corresponden a números enteros.
Veamos ahora un sencillo ejemplo. Si tenemos un polinomio como,
Entonces x es algebraico, ya que el polinomio es distinto de cero, x es una raíz o 0, es decir x nos da el resultado 0 en la función. Los coeficientes son números racionales.
Si un número real o complejo no es algebraico, se denomina transcendente. Para diferenciar esto tomemos el ejemplo de la raíz cuadrada de dos, la cual es un número algebraico puesto que,
Las Propiedades de los números algebraicos son las siguientes:
Todos los números algebraicos son computables, por lo tanto son definibles.
El conjunto de los números algebraicos es numerable.
No todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e.
El número imaginario i es algebraico ya que es solución de,
Los números racionales son todos algebraicos. Porque toda fracción de la forma a / b es solución de bx – a = 0.
Son números algebraicos de primer grado ya que para todo número racional,
una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros (qx-p=0)
cuya solución es r.
Un número irracional puede ser o no algebraico. Por ejemplo:
Son números algebraicos ya que son soluciones respectivamente de,
Los números irracionales no pueden ser números algebraicos de grado 1 aún si son números algebraicos.
Podemos decir también que si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).
Es útil y necesario tener en cuenta que la suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos da como resultado otro número algebraico.
