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Morfismo

Publicado por Victoria Pérez

En matemáticas La teoría de categorías trata de forma abstracta con las estructuras matemáticas y sus relaciones. Una categoría se da a partir de dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X y Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son usualmente representados como flechas entre esos objetos. Representan un avance muy importante en el desarrollo de las Matemáticas, principalmente en el tratamiento de las estructuras algebraicas.

Una idea, quizás poco puntual, pero útil de lo que significa un morfismo sería la traducción literal de un idioma a otro. Podemos establecer con esto una definida correspondencia entre todas las palabras que existen entre ambos idiomas, pero esto solo servirá para traducir un texto, ya que habremos excluido las estructuras lingüísticas de ambos idiomas. Poder hacer intervenir este último factor sería como poder fundar un morfismo entre ambas lenguas.

Para seguir adentrándonos en lo que es un morfismo, recordemos una aplicación entre dos conjuntos por ejemplo A y B, esto se define como una correspondencia en la que para todo elemento de A existe una sola imagen en B. Las aplicaciones suelen indicarse con una letra minúscula, por ejemplo f. Así diremos que:

f: A–> B

es una aplicación de A en B y que b es la imagen de a si f(a) = b. Hay tres tipos de aplicaciones que reciben nombres especiales y que son:

1. Aplicación inyectiva, todos los elementos de B tienen a lo sumo una antimagen en A

2. Aplicación exhaustiva, todos los elementos de B tienen como mínimo una antimagen en A.

3. Aplicación biyectiva, es inyectiva y exhaustiva a la vez.

Si en los conjuntos A y B hay determinadas sendas operaciones entre sus elementos, se plantea la posibilidad de hablar de morfismos.Vamos a suponer que el conjunto A tiene definida una operación interna que indicamos con ^ y que B tiene otra que indicamos con *. Una aplicación f entre ambos conjuntos

f: (A,^) –> (B,*)

es un morfismo si se cumple

f(a^b) = f(a) * f(b)

Vamos a plantear un ejemplo. Supongamos que la aplicación se define en el conjunto de los números enteros, consideramos la estructura que obtiene éste cuando se ha definido la suma, y que la aplicación f consiste en multiplicar por dos, de manera que

f(x) = 2x.

Siendo así, tendremos una aplicación tal que

(Z, +) –> Z(, +)

2 –> 4

3 –> 6

etc.

Para que esto sea un morfismo se tiene que cumplir,

f(2 + 3) = f(2) + f(3)

lo cual es indiscutible ya que

f(2 +3) = f(5) = 2.5 = 10

f(2) + f(3) = 2.2 + 2.3 = 4 + 6 = 10

Es fácil demostrar esto que hemos comprobado para un caso particular en el caso más general, en el cual

f(a + b) = 2(a + b) = 2.a + 2.b = f(a) + f(b)

Ahora veamos qué sucede con la aplicación g que definimos así:

g(a) = a + 1

En este caso vemos que

g(2 + 3 ) = g(5) = 5 +1 = 6

g(2) + g(3) = (2 + 1) + (3 + 1) = 3 + 4 = 7

con lo que

g(2 + 3 ) ≠ g(2) + g(3)

por lo que esta aplicación no es un morfismo.

La clasificación que vimos para las aplicaciones, en inyectiva, exhaustiva y biyectiva, es aplicable también a los morfismos que reciben nombres especiales en función del tipo de aplicación que los define. Así se habla de

1. Monomorfismo, cuando la aplicación que define el morfismo es inyectiva

2. Epimorfismo, cuando la aplicación que define el morfismo es exhaustiva

3. Isomorfismo, cuando la aplicación que define el morfismo es biyectiva.

Cuando el isomorfismo esta definido de un conjunto en sí mismo se habla de automorfismo.
Existen también variantes y subclases de morfismo tales como, endomorfismo, automorfismo, bimorfismo, homeomorfismo, difeomorfismo, etc.

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