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Marco móvil

Publicado por Victoria Pérez

Un marco móvil o base móvil, es un objeto matemático que está definido sobre los puntos de una variedad diferenciable (en geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo de variedad topológica o espacio topológico, al cual podemos extenderlas nociones de cálculo diferencial). Un marco móvil es específicamente un conjunto de campos vectoriales linealmente independientes que en cada punto pertenecen al espacio tangente a la variedad.
Se denominan marcos móviles ya que esto hace referencia a un conjunto de vectores que parecen “moverse” sobre una variedad si se consideran puntos sobre una curva de dicha variedad.

La definición formal de maco móvil sería la siguiente:

Dada una variedad diferenciable M y un punto P en él, un marco en P viene dado por una base vectorial del espacio tangente ( el espacio tangente es el conjunto que se asocia a cada punto de una variedad diferenciable formado por la totalidad de los vectores tangentes a dicho punto) a M en el punto P. Normalmente se consideran marcos de la misma dimensión que la variedad donde están definidos . Entonces si M posee dimensión n, el marco vendrá dado por n vectores tangentes t1,….,tn a la variedad y que también son linealmente independientes. Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Un marco móvil (de dimensión n) en alguna vecindad, (vecindad o entorno en topología, es un conjunto que contiene al punto en dónde uno puede separarse un poco del punto en cuestión sin dejar el conjunto ) U⊂Μ de P requiere especificar n campos vectoriales diferenciables definidos en U que son linealmente independientes en cada punto Q∈U.

El marco móvil se aplica en diferentes estudios, como en geometría de Riemann, y en la teoría de la relatividad. En ambos temas la clase más importante de marcos móviles son los marcos ortogonales y los ortonormales, o sea los marcos que abarcan conjuntos ordenados de vectores normales unitarios en cada punto. En un punto P un marco general puede tornarse ortonormal por ortogonalización. Esto también se puede dar diferencialmente, de forma que la existencia de un marco móvil implique entonces la existencia de un marco ortonormal móvil.

La existencia de un marco móvil está en M; pero la existencia global en M requiere de condiciones topológicas.
Supongamos que M es un círculo, o más generalmente un toro, (en geometría un toro es una superficie de revolución, estas se generan mediante la rotación de una curva plana) tales marcos existen, pero no existen si M es una 2-esfera. Una variedad que posee un marco móvil global se denomina paralelizable. Un ejemplo de esto sería cuando las direcciones unitarias de latitud y longitud en el plano terrestre colapsan como marcos móviles en los polos norte y sur.

El método de marcos móviles del matemático francés Élie Cartan se basa en tomar un marco móvil que se adapte al problema particular que es estudiado. Dada una curva en el espacio, los primeros tres vectores derivados de la curva pueden en general dar un marco en un punto de ella. Más generalmente, el significado abstracto de un marco móvil es una sección del fibrado principal para GLn que es un fibrado asociado al fibrado tangente como fibrado vectorial.
Para comprender mejor esto, es necesario tener algún conocimiento de los términos topológicos.

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