Ley de composición
Una operación o ley de composición es la aplicación de un operador (un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada sobre un determinado número de operandos como serían los números, funciones, vectores, etc.) Sobre una selección de elementos pertenecientes a un conjunto. El operador toma los elementos originales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final el cual puede ser de la misma naturaleza o no. Esto es lo que se conoce concluyentemente como ley de composición.
El conjunto de partida puede que esté formado por elementos de un tipo solamente (las operaciones aritméticas actúan exclusivamente sobre números) o de varios. El producto de un vector por un escalar abarca al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial (un espacio vectorial es el objeto básico de estudio en álgebra lineal, los elementos de los espacios vectoriales son los vectores)
Dependiendo de cómo sean los conjuntos que se encuentran implicados en la operación en relación al conjunto considerado primordial según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones de dos formas diferentes, que serían internas (L.C.I) y externas (L.C.E).
Una ley de composición interna se puede definir como,
GXG -> G
Por ejemplo la operación + en el conjunto de los Z.
Siempre que se sumen números en Z quedaran en Z
GXG -> G
3+2 -> 5
Para dar una definición mas clara, podemos decir que una ley de composición interna, asocia cada par de elementos de un conjunto A con otro elemento de A. Por ejemplo la suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto en N y en Z. La resta de Z.
La resta en N y el producto escalar de vectores no son leyes de composición interna. Esto se debe a que una ley no deja de ser ley de composición interna, lo cual depende del conjunto en el que se establezca, ya que la resta es ley de composición interna en Z pero no lo es en N.
En un conjunto con más de un elemento se pueden definir “varias” leyes de composición interna. Por ejemplo en Z lo son la suma, la resta y la multiplicación. Para cada una de ellas utilizaremos un signo distinto.
3 + 7 = 10
3 – 7= – 4
3 .7 = 21
Una ley de composición externa en símbolos se puede definir como
SXG -> G,
O sea una operación que relaciona elementos de diferentes conjuntos pero que llegan a uno de ellos. Por ejemplo S siendo el conjunto K de escalares, y G un conjunto de vectores,
SX G -> G
4 (4,-2) = (16,-8)
Para comprender mejor podemos decir que dados dos conjuntos A y K, definimos una ley de composición externa cuyo conjunto de operadores es K si se cumple que,
Por ejemplo si A es un conjunto de vectores libres del plano y K=N.
En particular una Ley de composición interna es un caso de ley de composición externa, en el cual los dos conjuntos A y K coinciden.