Álgebra universal

A finales del siglo XIX, las matemáticas contaban con una amplia variedad de estructuras algebraicas tales como espacios vectoriales, algebras de Boole, etc. Pero en el año 1898 aparece el libro de Whitehead “ A treatise on universal algebra” cuyo autor trataba de relacionar todas las estructuras algebraicas por medio de una teoría ecuacional. Pese a esto los conceptos del algebra universal tal como hoy en día los conocemos, tardaron 30 años mas en ser descubiertos. Quien empezó a desarrollar este campo de las matemáticas de manera formal fue Garret Birkhoff (1911-1996). Este célebre matemático publica un artículo en el año 1935 denominado “On the Structure of Abstract Algebras”, cuyo resultado más importante se conoce como teorema de Birkhoff.

El teorema de Birkhoff nos dice que una variedad es un tipo de algebras del mismo tipo que se cierra bajo la formación de imágenes homomorfas, subalgebras y productos, salvo en casos de isomorfismos. Las formaciones de nuevas algebras corresponden a aquellos operadores que actúan dentro de una misma variedad y que indican respectivamente por H, S y P. Es posible demostrar que para una clase K de algebras de la misma clase, la variedad que se genera a partir de K es HSP(K), o sea que es suficiente con cerrar la clase si se forman productos, luego subalgebras y finalmente imágenes homomorfas para así obtener una variedad.

Una clase ecuacional es una clase de algebras del mismo tipo que se define por un conjunto de ecuaciones o sea por formulas que utilizan solamente variables, los símbolos de operaciones del tipo dado, el símbolo de igualdad y el cuantificador universal. Los grupos forman una variedad por ejemplo que posee subvariedades como la subclase que se forma a partir de los grupos abelianos. Los retículos distributivos forman una subvariedad de la variedad de retículos. Para que dichos retículos modulares formen también una variedad, se debe dar una definición equivalente a la ley modular que no use el símbolo ≤ ni la implicación de este. Esta definición sería la siguiente:

En los sistemas ergódicos es válido el teorema de Birkhoff el cual permite suplantar promedios temporales del sistema por un promedio espacial sobre una zona del espacio de las fases. Un sistema es ergódico si el único conjunto invariante de medida no nula de la hipersuperficie de energía constante del espacio de las fases es igual a toda la hipersuperficie de energía constante.