Conjetura de Poincaré
INTRODUCCIÓN
Jules Henri Poincaré fue un matemático francés del siglo XIX que destacó no solo por su trabajos matemáticos sino también por su labor como físico, científico teórico y también filósofo. Entre sus trabajos más importantes es Física destacan aquellos relacionados con la teoría de luz y las ondas electromagnéticas.
En cuento a las Matemáticas se refiere, destacó por sus trabajos matemáticos en el campo de la Topología (rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen constantes cuando se aplican transformaciones continuas, el ejemplo más común es el de una taza y un donut, ambos cosas son lo mismo topológicamente ya que tienen un único agujero). En 1894 estableció el grupo fundamental de un espacio topológico. Pero por lo que mayormente se le conoce, es por uno de los problemas más famosos (considerado uno de los “Siete Problemas del Milenio) y resueltos actualmente (en el año 2002), conocido como la conjetura o la hipótesis de Poincaré.
LA CONJETURA DE POINCARÉ
El enunciado de la conjetura dice así: “Una variedad tridimensional cerrada con un grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional”.
Este enunciado lo formuló debido a los avances que se produjeron durante el siglo XIX, ya que se observó que en el espacio tridimensional, toda variedad de dimensión 2 que fuera cerrada y simplemente conexa ( es decir, es conexa por caminos o lo que es lo mismo dados dos puntos de un conjunto existe un camino continuo dentro del conjunto tal que podemos unirlos) es homeomorfa al a esfera, o lo que es lo mismo, que la única variedad de dimensión dos cerrada y conexa es la esfera. Como podemos observar en la siguiente imagen, donde se muestra una 2-esfera, cualquier lazo se puede apretar hasta obtener un único punto en la esfera.
El trabajo de Poincaré consistió en extender esta idea a una variedad con una dimensión más. No obstante, este hecho no es tan fácil de visualizar en una dimensión más, de hecho, tampoco es nada fácil de demostrar. Y después de muchos intentos fallidos, Perelman lo consiguió en el 2002 (aunque este hecho está un poco reñido, ya que algunos científicos consideraban que ya estaba resuelto anteriormente). Para poder entender la demostración es necesario poseer un alto nivel de conocimientos en muchas ramas matemáticas: la topología, la geometría diferencial, el cálculo y las ecuaciones diferenciales. Esta gran necesidad de unir tantas ramas de las matemáticas pone de manifiesto el carácter instrumental y fundamental de las matemáticas uniéndose para poder demostrar un concepto topológico.
Como curiosidad, ya que la demostración no la vamos a ver en este apartado, resaltar que cuando por fin se le otorgó la Medalla Fields en el congreso internacional de matemáticos celebrado en Madrid en el año 2006, éste lo rechazó debido a la indignación producida por poner en duda su demostración.
