La integral de Riemann

La integral de Riemann se utiliza para calcular el área exacta bajo una curva en un intervalo finito [a, b], siempre y cuando la curva, f(x), sea continua en ese intervalo y esté acotada.

La idea que se utiliza en el cálculo de la integral de Riemann es dividir la región coloreada en rectángulos, de tal forma que nos permitan aproximar el valor del área de una curva, mediante la suma del área de rectángulos conocidas por todos (S= área base x altura).

Para poder entender el concepto de integral de Riemann, es necesario que definamos en primer lugar una serie de conceptos:

Llamamos partición (P) de un intervalo cerrado [a, b] a una sucesión de puntos finita y ordenada, donde el primer término es a y el último término es b, de tal forma que obtendríamos: a = x0<x1<…<xn = b, por tanto P={x0,x1,…,xn}.

Bajo las condiciones anteriores definimos la suma inferior de f:

Análogamente, definimos la suma superior de f:

Cuando el extremo inferior del conjunto de las sumas superiores coincide con el extremo superior del conjunto de las sumas inferiores entonces diremos que la función es integrable o que es una integral de Riemann.

Propiedades de las funciones integrables:

Casos para calcular áreas:

Cuando calculamos áreas bajo una curva, nos podemos encontrar con varias situaciones:

Caso 1: La curva se encuentra en la parte inferior del eje de abscisas:

Caso 2: La curva corta al eje de abscisas:

Caso 3: Área limitada entre dos curvas:

Aparte del cálculo de áreas, la integral de Riemann también se utiliza para calcular volúmenes engendrados por cuerpos de revolución. Además también tiene aplicaciones en otros campos relacionados con las matemáticas, como por ejemplo en física, donde la integral de Riemann se utiliza para calcular la masa distribuida en un barra o el torque (o primer momento) en una barra, entre otros. Vamos a ver un ejemplo de uno de estos casos:

Calcular la masa distribuida en una barra: Si tenemos una barra sobre la que se han ejercido fuerzas diferentes en distintos puntos, las cuales corresponden a distribuciones de masas de una barra con sus densidades correspondientes, entonces podemos calcular la masa total de la barra.

Para ello, realizamos una partición de la barra, de tal forma que la masa de cada trozo será el producto de la densidad por el volumen. Con esta idea de partición y de sumar la masa de cada uno de los trozos podemos establecer una relación con lo visto con anterioridad, y definir la masa total como la siguiente integral de Riemann:

Donde ρ(x) es la densidad de la barra en el punto x y s(x) la sección de la barra

en el punto x.