La cuadratura del círculo
Vamos a estudiar hoy uno de los tres problemas más famosos de la antigüedad: la cuadratura del círculo, de hecho se considera un problema imposible, y a finales del siglo XIX el matemático Ferdinand Lindemann demostró que el problema era irresoluble debido al carácter trascendente del número pi.
En la antigua Grecia, alrededor del siglo V a.C, se plantearon una serie de problemas geométricos para ser resueltos mediante técnicas puramente geométricas utilizando regla y compás. Éstos fueron tres: la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo y la cuadratura del círculo.
¿EN QUÉ CONSISTE EL PROBLEMA?
El problema se planteó debido al interés de los antiguos griegos en cuadrar toda superficie poligonal. Teniendo en cuenta que una superficie se puede cuadrar cuando a partir de ella podemos obtener un cuadrado que tenga la misma área que ésta.
Por tanto la cuadratura del círculo pretende hallar un cuadrado tal que su área sea la misma que la de un círculo dado; es decir, a partir del radio de un círculo, hallar un segmento que será el lado del cuadrado equivalente.
INTENTOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA
Por lo que se tiene constancia, el primer griego que estudió este problema fue Anaxágoras en su encarcelamiento.
Entre los trabajos más interesantes realizados en la antigüedad, podemos destacar los de los sofistas Anfitón y Brisón.
El primero de ellos considera que siempre que tenemos un polígono inscrito en un círculo, podemos construir otro con el doble número de lados, teniendo en cuenta que cuanto mayor sea el número de lados, el polígono se aproximará más al círculo, concluyendo que si todos los polígonos son cuadrables, entonces también lo será el círculo. Pero este razonamiento, como ya observó Aristóteles es falso, ya que nunca se llegará a llenar el círculo.
Brisón completó el trabajo de su compañero añadiendo a estas conclusiones las referentes a los polígonos circunscritos, obteniendo de esta forma dos series de polígonos cuadrables que se acercan cada vez más al círculo. Por tanto el área del círculo estará siempre entre la de un polígono inscrito y otro circunscrito.
El siguiente matemático que trabajo en este problema, aunque centrándose en resolver uno relacionado a él, fue Hipócrates de Quios, el cual calculó un área curvilínea para que fuera igual a un área acotada por líneas rectas. Es decir, consiguió cuadrar recintos limitados por arcos de círculos, que recibieron el nombre de “lúnulas de Hipócrates” por su semejanza con la forma de la luna creciente.
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Las lúnulas de Hipócrates crearon falsas esperanzas en los matemáticos posteriores, y aunque en varias ocasiones muchos de ellos presintieron que el problema era imposible, no se resolvió hasta finales del siglo XIX por Ferdinand Lindemann, como ya hemos mencinado al principio.
Esta demostración se basa en la siguiente idea:
Como el área del círculo es π por r al cuadrado y la del cuadrado l al cuadrado, donde r es el lado del círculo y l el lado del cuadrado:
Podemos observar que para que los dos áreas sean iguales, se debería cumplir que b fuese r por la raíz de π; es decir, que el radio y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo la razón de proporción la raíz de π.
Por tanto, la cuadratura del círculo sería posible siempre y cuando se pudiese obtener raíz de pi con regla y compás. Pero π es un número trascendente y por tanto es imposible.