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Inversa de una matriz

Publicado por Victoria Pérez

Una matriz es una tabla rectangular de datos o números, denominados elementos o entradas de matriz, que se ordenan en filas y columnas. Las filas representan las líneas horizontales de la matriz y las columnas las líneas verticales. Pueden sumarse, multiplicarse o descomponerse de diversas formas, lo que las hace importantes en el campo del algebra lineal, que se encarga de estudiar vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Aparecen en forma natural en geometría, estadística, economía, física, etc.

Se llama entonces matriz de orden m x n a un conjunto rectangular de elementos que se disponen en m filas y en n columnas. Se denomina dimensión o tamaño al orden de una matriz, siendo m y n números naturales.
Las matrices se indican con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas y subíndices que demuestran el lugar ocupado. Un elemento genérico que ocupara la fila i y la columna j se escribirá aij. Si el dicho elemento apareciera entre paréntesis también representaría a toda la matriz con la siguiente forma, A =(aij) Veamos un ejemplo:

Si hacemos referencia a filas o columnas estamos hablando de líneas. Entonces el número total de elementos de una matriz es Am x n o sea m.n. Tanto las listas como las tablas adoptan el nombre genérico de matrices.

Sabiendo esto, veamos a continuación que es la inversa de una matriz.

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que compruebe que:

A.B= B.A=I ( I es igual a la matriz identidad) diremos que B es la matriz inversa de Z y se representa de la siguiente forma:

Si hay una matriz inversa de A, diremos que dicha matriz es inversible o regular. Si esto no se cumple diremos que la matriz A es singular. Una matriz tiene inversa por ejemplo si una matriz A de orden n (es decir de n filas y n columnas) tiene inversa si el rango es n, o sea cuando el rango de la matriz coincide con su orden.

Existen tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Uno de ellos es por el método de Gauss. El otro por determinantes y adjuntos y también aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones que corresponda.

Veamos por último, un ejemplo de matriz inversa.

Aquí diremos que una matriz cuadrada A tienen inversa A-1, si verificamos que:

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