Función gaussiana

La función gaussiana, se denomina de tal forma en honor al matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss. Esta es una función que se puede definir mediante la siguiente expresión:

donde a, b y c corresponden a constantes reales (a > 0).

La gráfica de la función es simétrica y su forma es de campana, por esta razón se denomina generalmente campana de Gauss. El parámetro a es correspondiente al alto de la campana que se centra en el punto b, estableciendo c la anchura de la misma.

Veamos ahora como sería la gráfica de la campana de Gauss;

La característica mas elemental de la curva en cuestión es que es una necesaria y muy buena forma de representar la distribución de variables aleatorias en localidades y ciudades. Por esta razón es muy util para realizar cálculos de estadística. Es correspondiente en el caso de que a sea igual a lo siguiente,

a la función de la densidad perteneciente a una variable aleatoria con repartimiento normal de,

Media o valor medio,

Varianza,

Gran parte de las variables aleatorias continuas muestran una función de densidad, en la cual la forma de la gráfica es de campana. Para comprender mejor esto se debe tener en claro que una función de densidad f(x) se encarga de describir la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio. De esta forma las probabilidades que hay de que la variable aleatoria tome un valor de manera interna, de un conjunto determinado siendo la integral de la función de densidad sobre el conjunto determinado. Una variable aleatoria es correspondiente a una función que establece un valor numérico a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral o sea al conjunto total de posibles resultados potenciales de un experimento aleatorio.Por esta razónl una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico se determina por lo obtenido por el experimento aleatorio.

Las funciones gaussianas del tipo,

son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto quiere decir que la transformada de Fourier de una función gaussiana corresponde también a un múltiplo escalar de la función original.

Las gaussianas están entre las funciones elementales, (funciones construidas a partir de una cantidad finita de exponenciales, constantes,variables, logaritmos y raíces de ecuaciones por medio de la composición y formas de combinación, usando las cuatro operaciones elementales ) aunque no tengan primitivas primordiales. Pese a esto, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real es posible que resulte a partir del valor de la integral de Gauss (también llamado integral de probabilidad) obteniéndose lo siguiente:

El valor de la integral corresponde a uno únicamente si,

La primitiva (función construida a partir de una cantidad finita de exponenciales) de una función gaussiana correspondiente a la llamada función error de Gauss. Esta es una función no elemental la cual puede verse en muchos argumentos de las ecuaciones diferenciales, ingeniería, probabilidad, estadística, ciencias matemáticas, ciencias sociales y ciencias naturales.