Conjunto universal

En matemáticas el concepto de conjunto se considera primitivo y no se da una definición de este, sino que en cambio se trabaja con el agrupamiento de objetos. La característica fundamental de un conjunto es la de estar bien definido, o sea que dado un objeto específico, se debe determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si tomamos el conjunto de los números dígitos, bien sabemos que el 3 pertenece a este conjunto pero el 18 no. Por otro lado si consideramos el conjunto de las bellas obras musicales no tendremos un conjunto bien definido, ya que muchas personas puedan tener incluidas distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto se denominan miembros o elementos. Tomemos como ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. que se puede escribir de la siguiente forma:

{ a, b, c, …, x, y, z}

El conjunto universal

Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Primitivamente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, pero en la actualidad está demostrado que este conjunto no existe. Al presente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Si tratamos conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sería el que estuviera formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo (o referencial) es el conjunto vacío. El conjunto universal se indica con la letra U y algunas veces se indica con la letra S.

En un problema que sólo involucra números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos los números naturales: {1, 2, 3, 4, . . .}. Cualquier otro subconjunto involucrado, como el conjunto de los números pares {2, 4, 6, . . .}, se toman de este conjunto universal. Veamos un ejemplo mas claro:

Sean los conjuntos:

E = { mujeres } F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluirá a los conjuntos E y F, que sería el conjunto U :

U = {seres humanos }

Gráficamente se representa por medio de un rectángulo tal como se observa a continuación.

Veamos otro ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = { aves } B = { peces } C = { gatos } D = { perros }

Existe aquí otro conjunto que incluirá a los conjuntos A, B, C y D y que será el conjunto U.

U = { animales }

Gráficamente se puede representar por un rectángulo tal como podemos ver a continuación.