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Método Ruffini

Publicado por Eduardo

 

¿Cuántas veces nos hemos encontrado con un polinomio en el cual nos es imposible conocer las raíces para descomponerlo en binomios más sencillos de la forma (x-r) ?

 

Bien, no entremos en pánico, porque hace ya bastantes años (en 1814 más concretamente), un señor llamado Paolo Ruffini, se sacó de la manga un método muy útil para factorizar polinomios de grado n mediante divisiones, y se conoce como la “Regla de Ruffini”.

 

Pero veámoslo en la práctica con un ejemplo, supongamos que tenemos un cociente de polinomios P(x) y Q (x) tal qué:

 

P(x)= (x^4 -16)

Q(x)= (x-2)

 

Como veis resulta complicado dividir ese cociente, pues necesitamos saber las raíces de P(x) primero, no hay forma matemática de hacer esa división directamente, por ello nos ayudamos de Ruffini:

 

-Primer paso

 

Lo primero que debemos de hacer es mirar el polinomio P(x) y colocar sus coeficientes (lo que está pegado a las equis) en una línea rellenando los coeficientes que no tengamos con ceros:

 

 

    1 0 0 0 -16

 

 

-Segundo paso:

 

 

Ahora, a la izquierda trazaremos una línea horizontal, y después un poco más abajo otra línea vertical, en donde se crucen, por fuera, pondremos nuestro divisor cambiado de signo, en este caso tenemos el -2, por lo que pondríamos el 2 en positivo:

 

   

 

 

-Tercer paso:

 

Por último, operamos, para ello, debemos bajar el primer coeficiente y después multiplicarlo por el divisor de la izquierda (el dos) y sumaríamos esos dos coeficientes:

 

    

 

 

- Cuarto paso:

 

Ahora seguimos haciendo lo mismo hasta llegar al último de los coeficientes, en donde deberemos de tener el último de nuestros coeficientes a cero, que es lo que llamamos el resto.
 

 

Por tanto: P(x)= (x-2)(x+2)(x+2)(x+2)

**PISTA** : Intenta fijarte siempre en el ultimo coeficiente, éste te dará que divisor debes emplear, escogiendo siempre múltiplos (si te das cuenta 16, 8 y 4 no son más que potencias de 2, pues son 2, respectivamente).

**PISTA**: Acordaos de cambiar de signo los divisores de la izquierda cuando escribáis los binomios, si os fijáis los he puesto en orden, 2, -2 y -2, esto es muy importante ya que por un signo os puede cambiar todo el polinomio.

Como veis he realizado dos veces más los mismos pasos, solo para que veáis lo sencillo que es, además, es mucho mejor simplificar lo máximo posible, pues luego para realizar los cálculos nos vendrá muy bien. En este caso, para realizar la división de P(x) entre Q(x):
 

Nota: He puesto los (x-2) y (x+2) como binomio al cuadrado por simplificar cálculos.

Nota2: En este caso hemos tenido la suerte de que los cocientes nos salieron todos cero, de ser el caso, si por ejemplo al final en vez de tener cero tuviese 5, la solución quedaría así:

(x-2)(x+2)(x+2)(x+2+5), ese 5 final iría en lugar del último resto.

 

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4 comentarios para “Método Ruffini”


  • Al fin me enteré cómo va Ruffini. Debería entrar más gente por aquí… ;)
  • x^4 – 16 = (x^2 – 4)*(x^2 + 4), siguiendo la regla (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b)

    Por la misma regla (x^2 -4) = (x – 2)*(x + 2)

    Sin embargo x^2 + 4 no tiene soluciones reales, sí imaginarias (2i y -2i)

    Lo que no quita para que lo que dices de ruffini sea cierto, salvo que en el último paso te equivocas al multiplicar el segundo -2 por 1 lo dejas como 2, cuando en realidad son -2, de forma que ruffini no daría solución (porque no la hay).

    Tampoco es verdad lo del resto. Si al final no da cero se ha de sumar el resto, pero NUNCA dentro del paréntesis, en tu ejemplo eso sería lo mismo que decir (x-2)(x+2)(x+2)(x + 7), es decir, como si hubiéramos hecho ruffini con -7, lo que no es así. Deberías haber escrito (x-2)(x+2)(x+2)(x+2)+5

    Por otra parte, dejar un resto NO es factorizar, no sirve de nada dejar un resultado del tipo (x-a)*(x-b)+c, dejándolo con un resto NUNCA nos dará las raíces del polinomio. Pongo un ejemplo:

    X^2 + 1, si hacemos ruffini con +1 vemos que se puede rescribir como (x+1)*(x-1)+2. Si lo que dices fuera cierto 1 y -1 serían raíces (soluciones) del polinomio x^2 + 1, sin embargo, si sustituimos tanto 1 como -1 vemos que el resultado es 2, es decir, NO son raíces. De nuevo el polinomio x^2+1 NO tiene raíces reales y por eso al aplicar ruffini SIEMPRE nos quedará un resto, utilicemos el número que utilicemos.

    Honestamente, tener una web dedicada a las matemáticas y tener estos errores…

  • hola !! entonces el problema esta mal !!??? la verdad yo no se usar el metodo de ruffini y lo estoy buscando para saber como se resuelven los problemas por ese metodo pero uno dice que asi es como se hace y otro dice que no que esta mal, entonces quien tiene la razon !! deberian de poner otro ejemplo !! pero de todos modos la informacion es buena, cuidense bye!!
  • y si el polinomio es : x^4 + 3x^3 – x^2- 3x
    ¿Cómo podría averiguar rapidamente que número es el divisor?



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