Simetría de una función

Hoy vamos a estudiar una de las características más importantes de una función que nos pueden facilitar el estudio de las funciones así como su representación: la simetría.

Cuando estudiamos la simetría de una función pueden ocurrir que la función sea simétrica o que no lo sea. En el caso de que la función sea simétrica hay dos tipos de simetría.

TIPOS DE SIMETRÍA

El carácter de las funciones puede ser de dos tipos:

–Simetría respecto del eje OY, también llamada simetría par: Diremos que una función tiene simetría para cuando la función f(x)=f(-x); ; es decir, cuando cada valor de la función en un punto, coincide con el valor de la función en el inverso. Por ejemplo, si f(5)=1, entonces f(-5)=1.

De forma gráfica nos podemos dar cuenta doblando el gráfico por el eje OY, de tal forma que la función se supondrá a ambos lados del mismo. Es decir, como si colocásemos un espejo en dicho eje.

–Simetría respecto del origen, también llamada simetría impar: Diremos que una función tiene simetría impar cuando la función f(x)=-f(-x). Cuando una función tiene este tipo de simetría, quiere decir que para cada valor de la función en un punto, es el valor opuesto del punto opuesto. Por ejemplo si f(2)=6, entonces f(-2)=-6.

De forma gráfica, nos podemos dar cuenta cuando si doblamos el papel por el eje OX, la función aparentemente tiene simetría con respecto del eje OY o simetría par; y si la volviésemos a doblar por el eje OY, las funciones se superpondrán.

PASOS PARA DETERMINAR LA SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN

Para determinar de forma analítica si una función es simétrica llevaremos a cabo dos pasos muy sencillos:

1º. En primer lugar, hallaremos la función f(-x), para ello sustituiremos cada x por -x. Una vez hecho esto comprobaremos si f(x)=f(-x), si se cumple lo anterior diremos que la función tiene una simetría par o respecto del eje OY, y terminaríamos los pasos. En caso contrario, pasaremos al siguiente paso.

2º. Una vez comprobado que no se cumple el paso anterior, hallamos -f(-x). Cambiaremos el signo de la función, teniendo en cuenta que en el caso de tratarse de una función racional solo se cambiará el signo en el numerador o en el denominador. Si f(x)=-f(-x), diremos que la función tiene simetría impar o respecto del origen. En caso contrario, la función no tiene ninguna clase de simetría.

Ejemplo: Estudiar la simetría de las siguientes funciones:

1. 1º. En primer lugar calcularemos la expresión analítica de la función f(-x) tal y como hemos indicado en los pasos:

Como podemos ver f(x)≠f(-x). Por tanto, pasamos al segundo paso:

2º. Hallamos -f(-x), es decir, cambiamos el signo de la función f(-x). Para ello en primer lugar cambiamos el signo del numerador, y también el del denominador:

Ninguno de los caso se cumple que f(x)≠-f(-x). Por tanto la función no es simétrica.

2. 1º. En primer lugar calcularemos f(-x):

Como f(x)≠f(-x), pasamos al segundo paso.

2º. Hallamos -f(-x):

En este caso f(x)=-f(-x), por tanto la función tiene simetría impar.