Matemática

Inicio General Multiplicidad

Multiplicidad

Publicado por Victoria Pérez

La multiplicidad se refiere al carácter de múltiple o también a la multitud y abundancia excesiva de los individuos, acontecimientos, etc. La palabra tiene su origen en el término latino multiplicitas.

En las ciencias matemáticas, la multiplicidad de un miembro, segmento o porción de un multiconjunto es correspondiente a la cantidad de pertenencias de este en el multiconjunto. Por ejemplo, esta expresión es utilizada para hacer referencia al número de veces que un polinomio tiene raíz en un punto establecido.

La multiplicidad en factores primos es conocida como factorización, este es un concepto algebraico que describe cuando se descompone un número en el producto de otros más pequeños que si son multiplicados en su totalidad resultará el número original, por ejemplo:

60=2.2.3.5

Multiplicidad de la raíz de un polinomio

Sea F un campo (estructura algebraica en la cual las operaciones como la suma y la multiplicación pueden ser realizadas y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva) y p(x) un polinomio de una variable con coeficientes en F. Un elemento a ∈ F se denomina raíz de multiplicidad k de p(x) cuando hay un polinomio s(x) tal que,

entonces a recibirá el calificativo de raíz simple.

Veamos un ejemplo, el siguiente polinomio:

tiene como raíces a 1 y − 4 y puede escribirse de esta forma,

Esto significa que 1 es una raíz de multiplicidad 2, y − 4 es correspondiente a una raíz simple.(multiplicidad 1).

Multiplicidad de cero en una función

Sea I un intervalo de R y F una función de I a R o C y C ∈ I sea un cero de F, por ejemplo, un punto tal que F ( C) = 0. El punto C tomará el nombre de cero de multiplicidad K de F si existe un número real I ≠ 0 tal que,

De forma más habitual, siendo F una función de un subconjunto abierto A en este caso de un espacio vectorial (objeto básico de estudio en la rama de las ciencias matemáticas denominada álgebra lineal. Los elementos de los espacios vectoriales son llamados vectores) con norma E en un espacio vectorial con norma F, y sea C ∈ A cero de F, por ejemplo, un punto tal que F(C ) =0. El punto C toma el nombre de cero de multiplicidad K de F si existe un número real I ≠ tal que,

El punto C se denomina cero de multiplicidad ∞ de F si para cada K, se cumple lo siguiente,

Ejemplo 1. Dado que,

0 es un cero de multiplicidad 1 de la función seno.

Ejemplo 2. Si tenemos que,

0 es un cero de multiplicidad 2 de la función 1- COS.

Ejemplo 3. Si consideramos la función F de R en R tal que,

Lo anterior solo si x ≠ 0.

Por lo cual, dado que,

Para todo k ∈ N, 0 es un cero de multiplicidad ∞ para la función F.

La multiplicidad algebraica y geométrica

La multiplicidad algebraica por ejemplo AM de un valor característico A corresponde a la cantidad de veces que surge A como la raíz de det(A- λI)=0. Un valor característico de multiplicidad algebraica 1 es denominado «valor propio simple». Por otro lado la multiplicidad geométrica como GM es correspondiente a la cantidad de vectores característicos independientes. Se puede concebir también como la dimensión del espacio característico asociado.

Categorías: General