Igualdad algebraica

Una igualdad es literal o algebraica si posee números y letras las cuales llamaremos incógnitas o variables. Estas igualdades deben estar también constituidas por dos expresiones algebraicas separadas por un signo de igual (=). Por lo tanto si la igualdad es verdadera para cualquier valor de las letras diremos que es una identidad por ejemplo 2x = x + x es una identidad. En cambio si es solo verdadera para algunos valores de las letras diremos que es una ecuación por ejemplo 2x = 8 es una ecuación. Las identidades son igualdades que siempre se verifican tanto si son numéricas como si son algebraicas.

Además de las propiedades axiomáticas de las igualdades, existen también las propiedades de las ecuaciones. Estas propiedades son fundamentales para la resolución de ecuaciones y se basan en las propiedades de las igualdades. Entre ellas encontramos la propiedad de la igualdad de las ecuaciones que nos dice que si dos ecuaciones son iguales entonces sus soluciones son las mismas. Esto es fundamental para poder resolver ecuaciones ya que nos permite transformar una ecuación en otra más sencilla sin alterar sus soluciones.

Dentro de las igualdades algebraicas o literales, existe lo que llamaremos propiedades axiomáticas de las igualdades. Una de estas es la propiedad de la suma, la cual nos dice que si en una igualdad se suma la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta persiste y seguirá siendo una igualdad. Veamos el siguiente ejemplo:

Otra de las propiedades axiomáticas es la propiedad del producto, que dice que si a ambos lados de la igualdad se multiplica por la misma cantidad, permanecerá y también seguirá siendo una igualdad. El ejemplo siguiente muestra claramente esta propiedad:

En la igualdad por ejemplo x+y= 1 tenemos infinitas parejas de valores (x,y) que son soluciones: (1,0) ; (0,1); (2,-1) …… pero también hay infinitas parejas que no son soluciones (7,7); (0,5); (0,3) …. Mientras tanto en la igualdad x+x =2x todos los posibles valores de x serán una solución. Es una identidad entonces ya que todos los posibles valores de las variables son soluciones. En caso de que esto no se cumpla estamos frente a una ecuación.

Es importante mencionar que las ecuaciones pueden ser de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, etc., dependiendo del mayor exponente de la variable. Las ecuaciones de primer grado son también conocidas como ecuaciones lineales, las de segundo grado como ecuaciones cuadráticas, y así sucesivamente. Cada tipo de ecuación tiene sus propios métodos de resolución.

A continuación veremos algunos ejemplos de igualdades algebraicas y su resolución, distinguiendo cuales son identidad y cuales ecuaciones:

a) 5x – 2x = 3x es una identidad:

Si x = 1, sustituye x por su valor: 5 • 1 – 2 • 1 = 3 • 1 → 5 – 2 = 3 → 3 = 3

Si x = -1, sustituye x por su valor: 5 • (-1) – 2 • (-1) = 3 • (-1) → -5 + 2 = -3 → -3 = -3

Si x = 2, sustituye x por su valor: 5 • 2 – 2 • 2 = 3 • 2 → 10 – 4 = 6 → 6 = 6

Entonces para cualquier valor de x, se verificará la igualdad 5x – 2x = 3x.

b) x + 7 = 11 es una ecuación:

Si x = 4, sustituyen x por su valor: 4 + 7 = 11 → 11 = 11.

Solamente para el valor x = 4 se verificará la ecuación x + 7 = 11.

Las identidades no añaden información alguna acerca de las cantidades que contienen ya que son verdaderas cualquiera sea el valor que tengan. Pero son útiles para reorganizar y transformar una expresión algebraica en otra más simple o más adecuada al fin que se pretende.

Por otro lado, las ecuaciones son herramientas fundamentales en matemáticas y en muchas otras disciplinas como la física y la ingeniería, ya que nos permiten modelar y resolver problemas del mundo real. A través de las ecuaciones, podemos representar relaciones entre diferentes cantidades y encontrar los valores desconocidos que satisfacen estas relaciones.