Identidad de Jacobi
Esta identidad debe su nombre al importante matemático alemán, Carl Gustav Jakob Jacobi. Se puede definir como una operación binaria * o sea dos elementos dentro de un sistema S que pose a la vez una operación binaria conmutativa +. *
En un álgebra de Lie los componentes que cumplen a la identidad de Jacobi tienen una forma de movimiento infinitesimal. Cuando actúan sobre un operador con este tipo de movimiento, el cambio del operador es correspondiente al conmutador. Dicho conmutador se puede decir que es perteneciente a dos operadores lineales A y B , en relación con un igual dominio denso de un espacio de Hilbert determinado. Es también una forma diferente de operador que se halla definida por la diferencia del producto de operadores:
Los conmutadores son de gran importancia cuando se definen las álgebras de Lie, la mecánica cuántica, etc. Son operadores que obedecen una relación algebraica equivalente a las derivadas siendo una relación a tres variables. Esto es lo que se denomina identidad de Jacobi.
Veamos ahora, si se define el conmutador de dos operadores A y B de la siguiente forma,
La ecuación que sigue es lo que denominamos identidad de Jacobi:
Las álgebras de Lie son un elemental ejemplo del álgebra que cumple con la identidad de Jacobi. Es importante saber que se puede llegar a obdeder esta identidad y no por esta razón estará implicada la anticonmutatividad.
Decimos que un álgebra cumple con la anticonmutatividad si y sólo si x*y = -(y*x) para todo x, y, donde * es representante de un operador matemático binario.
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La super álgebra de Lie es una forma de generalizar el álgebra de Lie. Esto es elemental en la física teórica en la cual se utiliza para realizar una descripción matemática de la llamada supersimetría. La super álgebra de Lie es correspondiente al álgebra que tiene relación con un cuerpo con características 0 Z2-graduadas. El producto [ ., . ] es denominado super corchete de Lie o también super conmutador y obedece lo siguiente,
• [x,y] = − ( − 1) | x | | y | [y,x]
• ( − 1) | z | | x | [x,[y,z]] + ( − 1) | x | | y | [y,[z,x]] + ( − 1) | y | | z | [z,[x,y]] = 0
Aquí x, y, y z son puros en la Z2-graduación, |x| manifieta el grado de x (0 o 1).
Entonces las super álgebras de Lie son una forma de generalizar de manera natural las álgebras de Lie ordinarias correpondientes a una graduación de forma Z2. Las condiciones que se mencionan en el super corchete se encuentran en el corchete normal de Lie con las alteraciones realizadas para la graduación. La última condición se denomina en general super identidad de Jacobi.
