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Identidad de Euler

Publicado por Victoria Pérez

Leonhard Paul Euler fue un importante matemático y físico nacido en Basilea el 15 de abril del año 1707. Se le considera Es considerado uno de los matemáticos mas influyentes y prestigiosos del siglo XVIII. Se denomina identidad de Euler a una fórmula que fué desarrollada por este matemático, como ya nos dice el nombre de la identidad. Se puede observar en ella como va evolucionando el concepto numérico a través de los años. Desde la concepción más instintiva, como la de los naturales (que ya se conocen desde la época prehistórica) hasta los números negativos (representados por -1) obteniendo luego los números enteros. Si se agregan las fracciones (no figuran) se obtiene como resultado a los números racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) se obtienen los reales. Como punto final si se agregan los imaginarios imaginarios (se representan por i) obtenemos finalmente a los números complejos.

También se puede observar en esta identidad la historia de la evolución matemática, en este caso de las operaciones aritméticas. Podemos ver una suma, un producto y también una potencia. Esta identidad es interesante y valiosa , ya que relaciona cinco números muy utilizados en matemáticas:

e (número de Euler o constante de Napier) esencial en análisis. Este es un número irracional muy popular y también es uno de los números más trascendentes en matemáticas. Sus primeras cifras son las siguientes, 2,71828182845904523536028747135 ( continúa…)

π (pi) es un número esencial en geometría (corresponde a la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, pi = 3,14159265)

i (imaginario) es un número de gran importancia algebraica. Un número imaginario es un número que tiene como cuadrado a un negativo

0 y 1 Son las bases aritméticas puesto que son los elementos neutrales correspondientes a la adición y a la multiplicación

Estos números no parecían guardar gran relación entre ellos. Pero Euler descubrió su relación, hecho que sorprendió al mundo de las matemáticas. Veamos entonces la identidad que relaciona a estos números:

O escrito de otro modo:

Entonces ¿Por qué razón decimos que hay una igualdad? Veamos:

Se Parte de una expresión correspondiente a la exponencial a modo de suma de los términos de la sucesión o serie:

Se sustituye x por z.i, y se aplica lo que sigue,

(a raíz de esto se repite el ciclo de resultados) agrupandose las potencias por pares de z de un lado y las impares por otro lado, obteniendo de esta forma:

Si se sabe que las expresiones de sin x y cos x a modo de serie son:

llegamos a:

Sustituímos z por π (Pi):

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegaremos entonces a la fórmula.

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