División por cero

El problema de la división por cero surgió en los años 650, cuando en la India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en arrimarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara. En matemáticas, la división por cero es aquella en la cual el divisor corresponde a cero. Este tipo de división se considera una «indefinición» la cual puede originar paradojas matemáticas que se conocen como diferentes infinitos.

En algunos círculos se ha aceptado por convenio y de forma errónea que la solución de una división entre cero es infinita, a no ser que el numerador también sea cero, lo que daría como resultado un número indeterminado. Esto es en cualquier caso un error, ya que la división entre cero es imposible, ni da infinito ni tampoco es una indeterminación. Imaginemos que tenemos un cubo de agua de un litro y que queremos llenar un tanque de diez litros, para esto requeriríamos diez cubos llenos de agua. Si imaginamos que el cubo es diez veces más pequeño, necesitaríamos cien cubos llenos. Si el cubo es cien veces más pequeño requeriríamos mil cubos. Así sucesivamente. Entonces podríamos pensar que si el cubo lleva cero litros tendríamos que hacer infinitos viajes, pero esto no es así puesto que infinitos cubos vacíos no llenarían absolutamente nada.

A pesar de que la división por cero es una indefinición, es importante notar que en ciertos contextos matemáticos y físicos, se puede trabajar con esta idea. Por ejemplo, en el cálculo infinitesimal, se trabaja con límites que tienden a cero, lo que permite el manejo de infinitesimales. Sin embargo, esto no significa que se esté dividiendo realmente por cero, sino que se está trabajando con cantidades que se acercan a cero.

Expliquemos ahora este tipo de división de otra forma:

Cualquier número multiplicado por cero da cero. Para entender lo siguiente es necesario tener claro que es el inverso multiplicativo de un número. Esto significa dividir por ese número. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 5 es 1/5. Supongamos entonces que cero tiene inverso multiplicativo, que sería 1/0, entonces por ser 1/0 el inverso multiplicativo de 0, asumiríamos que 0 por 1/0 = 1 y por el otro lado, 1/0 lo estamos multiplicando por 0, por lo cual también asumiríamos que 1/0 por 0 = 0.

En síntesis, tenemos que 0 = 1/0 x 0 = 1, o sea que 1 = 0. Esto sería ilógico ya que como sabemos, 1 es distinto de 0. Lo que supusimos, es decir que 1/0 existe, es lo que no sucede, no existe entonces 1/0.

Dentro del dominio de números ordinarios, «uno dividido entre cero» no tiene respuesta.

Como ya hemos dicho, a veces en matemáticas se imagina la entidad especial que se conoce como «infinito» y se escribe de esta forma ∞. Esta se considera un «hipervalor», que se define como «la cantidad que es mayor que absolutamente cualquier número ordinario». El infinito no es un número normal. No obedece las leyes de la aritmética. Por ejemplo, infinito más uno no tiene respuesta alguna ya que tales cálculos no tienen ningún lugar en la matemática. Por lo cual generalmente nos limitamos a un hipervalor único. Así, agregando al «infinito» un número, doblándolo o cuadrándolo, no cambia su naturaleza o su «valor». Si se insiste en algún tipo de respuesta, lo mas apropiado es «infinito más uno» iguala «el infinito».

Es importante mencionar que la división por cero también ha sido objeto de estudio en el campo de la informática. En la mayoría de los lenguajes de programación, la división por cero genera un error de ejecución, lo que puede provocar la detención del programa. Este es un ejemplo de cómo la matemática, y en particular la división por cero, tiene implicaciones prácticas en otras disciplinas.