Productorio

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar repetidamente un mismo valor la cantidad de veces que están indicadas por un segundo valor. Así, 5.3 (se lee como cinco multiplicado por tres, o simplemente, cinco por tres ) es igual a sumar tres veces el valor 5 por sí mismo (5+5+5). El resultado de la multiplicación de varios números se denomina producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes. El multiplicando es el número a sumar y el multiplicador nos indica cuantas veces se suma el multiplicando.

El operador productoria, también se conoce como multiplicatoria o pitatoria (por indicarse como una letra pi mayúscula), es un operando matemático (En matemáticas, un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada sobre un cierto número de operandos número, función, vector, etc.) que consiste en la multiplicación finita o infinita de factores por medio de un símbolo matemático que facilita la operación, dicho símbolo es el símbolo productorio. Se puede definir por inducción (la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones) como se muestra a continuación,

Podemos utilizar el productorio para definir otras igualdades elementales.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener lo siguiente:

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener,

Entonces utilizando la propiedad asociativa (Propiedad que establece que cuando se multiplican tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento) de la multiplicación, el producto (a1 a2)a3 es el mismo que a1(a2 a3) por lo tanto, podemos excluir el uso de paréntesis sin peligro de confusión o desorden, pudiendo utilizar simplemente,

Siendo así, se puede utilizar este razonamiento para cualquier,

sin que haya peligro de confusión.

En seguida, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como se muestra ahora:

Se define 0!=1!=1

Se puede usar el Método de Inducción Matemática (es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas ) para demostrar algunas propiedades. Para esto, vamos a basarnos en la definición formal por inducción que fue explicada anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

Demostración por Inducción

1) Tomemos n=1 y veamos si la igualdad se cumple

la igualdad es verdadera para n=1

2) Vamos a suponer ahora que es verdadera para n y estudiémosla para n+1

Definición por inducción,

(Asociatividad)

Luego,