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Suma de Gauss

Publicado por Victoria Pérez

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un importante matemático, astrónomo y físico alemán. Cuenta la anécdota que en 1787 cuando Gauss asistía a primaria un profesor de Matemática mandó a los alumnos a que sumaran de 1 a 100 a modo de castigo (contaba tan solo con diez años de edad) Gauss fue el primero en entregar la respuesta, 5050. El niño había realizado el cálculo utilizando simplemente su lógica, reflexionando sobre el aspecto tan representativo de aquella sucesión y formando de esta forma una sola operación (en lugar de noventa y nueve sumas). Veamos cual fue el procedimiento.

Gauss debía realizar la sumar de la siguiente serie:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

Se dio cuenta entonces que reordenar los elementos de la suma, sumando siempre los simétricos hacía mas sencillo el cálculo:

(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101

(49 + 52) = 101
(50 + 51) = 101

Siendo así todas las sumas de simétricos daban como resultado 101. Si Habían 50 posibles pares, la solución al problema era de 50 x 101, esto es 5050.

Emplearía luego este mismo principio para encontrar la fórmula de la suma de la serie geométrica, entre otras tantas cosas.

Veremos a continuación una introducción a lo que son las sumas gaussianas cuadráticas.

Gauss estudio e introdujo las sumas para la determinación del número de puntos de algunas funciones cuadráticas sobre un cuerpo. También fueron utililes para dar demostrar la ley de reciprocidad cuadrática. Dicha ley fue descubierta en principio por Euler.
Las sumas gaussianas cuadráticas tienen gran relacionamiento con la teoría de las funciones theta. Estas son funciones que poseen varias variables complejas y son elementales en diversas áreas matemáticas, como las teorías de variedades abelianas o formas cuadráticas.

La materia estudiada por Gauss, coloca a R como campo de los residuos módulo y un número primo p, y χ el símbolo de Legendre. (Utilizada en teoría de números. Toma como argumento un número entero a y un número primo p y reemplaza uno de los valores 1, -1, ó 0 depende si a es o no residuo cuadrático módulo p) En este caso Gauss demostró que,

Si p es congruente con 1 o 3 módulo 4 correspondientemente.

La Congruencia es un término utilizado en la teoría de números. Es útil para darnos cuenta si dos enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, denominado módulo; podemos expresar esto mediante la siguiente notación,

Se dice que a es congruente con b módulo m.

Una forma alternativa para la suma gaussiana es la que vemos a continuación:

La teoría general de las sumas gaussianas se desarrolló a principios del siglo XIX, con la utilización de sumas de Jacobi y su descomposición en factores primos sobre campos ciclotómicos. En estos campos si asociamos una raíz primitiva n-ésima de la unidad a Q, obtenemos el cuerpo ciclotómico n-ésimo Fn, este posee todas las raíces n-ésimas de la unidad y es también el cuerpo de descomposición de los polinomios ciclotómicos n-ésimos sobre Q. La extensión Fn/Q posee grado φ(n) y su grupo de Galois es ciertamente isomorfo al grupo multiplicativo de las unidades del anillo Z/nZ.

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